Bài Kiểm Tra

https://baikiemtra.com

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung : Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn (h.48).
 = .
h48

2. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)
Nếu góc  (cố đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng một nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của dường tròn.

B. Ví dụ
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy cắt AC tại M. Chứng minh rằng :
a) AB2 = AM.AC.
b) BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
 
Giải (h.49)
Ta có  =  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).
Mặt khác  = (so le trong của BM // xy) nên   =  .
Do đó ABM   ACB (g.g).
Suy ra  =   AB2 = AM.AC.
h49

b) Ta có   =    (chứng minh trên), mà sđ  =  sđ  nên  =  sđ  
Suy ra BA là tia tiếp tuyến của đường tròn (MBC) (theo định lí bổ sung).

Nhận xét: Ở câu b) ta đã dùng một dấu hiện mới để chứng minh một tia là tia tiếp tuyến của đường tròn. Nếu dùng dấu hiệu này để chứng minh AC là tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AMD trong ví dụ ở §3 thì sẽ rất tiện lợi.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
27. Hướng dẫn (h.50)
Dùng góc A làm trung gian.
h50,51

28. Giải (h.51)
Vẽ dây chung AB.
Ta có  =  ;  =   .
Suy ra   =  . Do đó Px // AQ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

29. Giải (h.52)
ABC và DBA có:  =  ;    =    .
Do đó ABC   DBA (g.g).
h52
 
30. Giải (h.53).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax ta vẽ tia Ax’ là tia tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ta có '  =  sđ  . Mặt khác  =  sđ  .
Nên '   =  .
Do đó hai tia Ax’ và Ax trùng nhau.
Suy ra tia Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
h53
 
31. Hướng dẫn (h.54)
Ta chứng minh được BOC đều, từ đó
suy ra  = 60o, sđ  = 60o.
Đáp số:  = 30o ;   = 120o.
h54

32. Giải (h.55)
Vẽ bán kính OP thì OP TP.
Xét POT vuông tại P, ta có  +  = 90o.(1)
Ta có  =  sđ
 = sđ .
Suy ra  = 2   (2)
Từ (1) và (2) suy ra   + 2    = 90o.
h55
 
33. Hướng dẫn (h.56)
Ta chứng minh: =  (cùng bằng  )
Suy ra: ABC   ANM (g.g)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
h56
 
34. Giải (h.57)
Nối TA, TB. Ta được  = .
MTA   MBT (g.g). Suy ra:   =  
Do đó: MT2 = MA.MB.
Nhận xét : Bài toán này là một định lí hay dùng. Bạn nên nhớ để vận dụng.
h57
 
35. Giải (h.58)
Gọi M là đỉnh ngọn hải đăng và M’ là điểm quan sát trên tàu. Đường thẳng MM’ tiếp xúc với mặt biển tại T. Vẽ cát tuyến MAB đi qua O.
Ta có:
MT2 = MA.MB = MA.(MA + 2R).
MT2 = 0,04.(0,04 + 2.6400)
MT  23 (km).
Tương tự ta có M’T  11km.
Đáp số: 34km.
h58

D. Bài tập luyện thêm

1. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn và vẽ MH AB. Vẽ đường tròn (M ; MH) cắt xy tại C và D (C và A thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ HM). Chứng minh rằng :
a) MA, MB là các tia phân giác của các góc tạo bởi xy và MH.
b) AC và BD là các tiếp tuyến của đường tròn (M).

2. Cho đường tròn (O ; R) và đường tròn (O’ ; r) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng :
a) BC.BD = AB2 ;
b)  =

3. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD ; Một đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại D cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng :
a) MN//BC;
b) AD2 = AM.AC ;
c) AM.DN + AN.DM = AD.MN.

4. Từ một điểm A, ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của AB và gọi D là giao điểm của MC với đường tròn. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng :
a)  =    
b) Tứ giác BDCE có tích các cặp cạnh đối bằng nhau ;
c) Tứ giác ABEC là hình thang.

Hướng dẫn - Đáp số
 
1. (h.59).    
a)  =  ;  =   (cùng phụ với ).
Suy ra:  =
Chứng minh tương tự được  = .

b) Ta có AMC = AMH (c.g.c).
Suy ra  =   = 90o. Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn (M). Chứng minh tương tự, BD là tiếp tuyến của đường tròn (M).
h59
 
2. (h.60). a) ABC   DBA (g.g).
Suy ra:  =   =  (1)
Do đó AB2 = BC.BD.
h60
b) Từ (1) ta có:
  .     =   .   
Do đó:  =   (2)
Mặt khác, ta có  =   = 90o, suy ra  = .
Vậy AOC   AO’D (g.g).
Suy ra:  =  . Do đó:  =  (3)
Từ (2) và (3) ta được:  =  
 
3. (h.61). a) Ta có  =  nên  =  .
Suy ra  =  . Do đó MN // BC.

b) Xét AMD và ADC, ta có :
 =  ;  = ;   , nên AMD   ADC (g.g).
Do đó:  =  suy ra:  AD2 = AM.AC.

c) Gọi E là giao điểm của AD và MN, ta có :
AME   ADN (g.g) AM.DN = AD.ME. (1)
ANE   ADM (g.g)   AN.DM = AD.EN. (2)
Từ (1) và (2) a được AM.DN + AN.DM = AD.(ME + EN) = AD.MN.
Nhận xét: Phương pháp chứng minh AM.DN + AN.DM = AD.MN là thay thế các tích AM.DN và AN.DM bằng các tích khác bằng chúng, có liên quan đến AD và MN rồi cộng các tích mới.
h61
 
4. (h.62). a) ABD   AEB (g.g)
suy ra:  =  (1)

b) Ta có : ACD   AEC (g.g)
suy ra:  =   (2)
Vì AB = AC nên từ (1) và (2)
suy ra:  =  do đó : BD.CE = BE.CD.
h62

c) Ta có MBD   MCB (g.g)
Suy ra:  =  ; do đó  =  hay  =  
dẫn tới MAC   MDA (c.g.c).
Suy ra  =  , do đó   =   (vì   =  ).
Dẫn tới AB // CE, do đó tứ giác ABEC là hình thang.
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây