Bài Kiểm Tra

https://baikiemtra.com

Giải bài tập Toán 9, chương III, bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Giải bài tập Toán 9, chương III, bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.
A. Tóm tắt kiến thức
Ta thường giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình theo các bước sau :
Bước 1. Lập hệ phương trình :
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
- Biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng bởi hai phương trình.
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa được.
Bước 3. Trả lời : Chọn các giá trị tìm được của hai ẩn thoả mãn các điều kiện của ẩn.

B. Ví dụ
Ví dụ 1. Vào năm học mới Lan mua 7 quyển vở và 3 bút bi hết 48000 đồng, Vân mua 5 quyển vở và 2 bút bi hết 34000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quyển vở và mỗi bút bi là bao nhiêu?

Giải. Gọi giá tiền mỗi quyển vở là x đồng.
Giá tiền mỗi bút bi là y đồng, x > 0, y > 0.
Số tiền Lan mua 7 quyển vở là : 7x (đồng).
Số tiền Lan mua 3 bút bi là : 3y (đồng).
Tổng số tiền Lan đã mua vở và bút bi là : 7x + 3y (đồng).
Số tiền Vân mua 5 quyển vở là : 5x (đồng).
Số tiền Vân mua 2 bút bi là : 2y (đồng).
Tổng số tiền Vân đã mua vở và bút bi là : 5x + 2y (đồng).
Theo đầu bài ta có hệ phương trình : (I)
Giải hệ (I): (I)  
   
Vì 6000 > 0, 2000 > 0 nên cặp số (6000 ; 2000) thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời: Giá tiền một quyển vở là 6000 đồng.
              Giá tiền một bút bi là 2000 đồng.

Ví dụ 2. Một ca nô một lần xuôi dòng theo một con sông 72km rồi ngược dòng 48km hết tất cả 6 giờ. Hôm sau nó lại xuôi dòng theo con sông ấy 52km rồi ngược dòng 60km hết tất cả 5 giờ 55 phút. Tính vận tốc thực của ca nô (tức là vận tốc của ca nô trong nước yên lặng) và vận tốc của dòng nước chảy.

Giải. Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) và vận tốc của dòng nước là
y (km/h), x > 0, y > 0, x > y.
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là (x + y) km/h.
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là (x - y) km/h.
Lần đầu, thời gian xuôi dòng là :  (giờ)
thời gian ngược dòng là :  (giờ)
Hôm sau, thời gian xuôi dòng là :  (giờ)
thời gian ngược dòng là :  (giờ)
5 giờ 55 phút = 5 (giờ) = 5 (giờ) = (giờ).
Theo đầu bài ta có hệ phương trình : (I)
Giải hệ (I) : Đặt u = ; v =  ta có hệ phương trình:
 hay (II)  

(II)    
   
Thay u = ; v =  , ta được hệ phương trình (III)
(III)    
Rõ ràng x = 20 và y = 4 thoả mãn các điều kiện của các ẩn.
Trả lời:  Vận tốc thực của ca nô là 20km/h.
               Vận tốc của dòng nước là 4km/h.

Ví dụ 3. Hai đội thợ cùng làm một việc. Khi thực hiện một mình đội I làm trong 6 ngày rồi chuyển đi làm việc khác ; đội II đến làm tiếp 4 ngày nữa thì xong. Nếu hai đội cùng làm trong 3 ngày thì còn lại một phần việc mà đội II phải làm thêm 3 ngày nữa mới xong. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc ?

Giải. Gọi số ngày đội I làm một mình để xong việc là x ngày
Số ngày đội II làm một mình để xong việc là y ngày, x > 0, y > 0.
Mỗi ngày đội I làm được :  (công việc).
Mỗi ngày đội II làm được :   (công việc).
Khi thực hiện đội I đã làm   (công việc),
đội II đã làm   (công việc).
Vì hai đội hoàn thành cộng việc nên :    +    là toàn bộ công việc. Do đó ta có phương trình:    +  = 1 (1)
Nếu hai đội cùng làm trong 3 ngày thì một mình đội II phải làm tiếp 3 ngày nữa mới xong. Điều này có nghĩa là đội I phải làm 3 ngày và đội II làm 6 ngày thì mới xong việc.
Do đó ta có phương trình :    +  = 1. (2)
Giải hệ phương trình (I)
Đặt u = , v =  ta được hệ phương trình
(II)
(II)     
   
Thay u = , v =  , ta được x = 12, y = 8.
Rõ ràng x = 12, y = 8 thoả mãn các điều kiện của các ẩn.
Trả lời :  Một mình đội I làm trong 12 ngày xong việc.
                Một mình đội II làm trong 8 ngày xong việc.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa

28. Hướng dẫn: Gọi số lớn là x, số nhỏ là y. Vì x chia cho y được thương là 2 và dư là 124 nên x = 2.y + 124. Do đó điều kiện là x > y > 124.
Trả lời : Hai số phải tìm là 712 và 294.

29. Giải. Gọi số quýt là x (quả), số cam là y (quả) x, y  N*.
Theo đầu bài, ta có : x + y = 17.
Mỗi quả quýt được chia ba nên số người ăn quýt là : 3x (người).
Mỗi quả cam chia mười nên số người ăn cam là : 10y (người).
Theo đầu bài, ta có : 3x + 10y = 100.
Giải hệ phương trình :
Ta được (x ; y) (10 ; 7).
Trả lời:  Số quýt là 10 quả.
               Số cam là 7 quả.

30. Giải: Gọi độ dài quãng đường là x (km) và thời gian dự định là y (giờ).
Nếu xe đi với vận tốc 35km/h thì thời gian đi hết quãng đường là  (giờ).
Vì thời gian đi dài hơn thời gian dự định là 2 giờ nên :  - y = 2.
Nếu xe đi với vận tốc 50km/h thì thời gian đi hết quãng đường là  (giờ).
Vì thời gian đi ngắn hơn thời gian dự định là 1 giờ nên : y -  = 1
Giải hệ phương trình (I)  
(I)
Vậy quãng dường AB là 350km. Vì thời gian dự định đi là 8 giờ và muốn đến B vào lúc 12 giờ nên phải xuất phát từ lúc 4 giờ sáng.

31. Hướng dẫn : Nếu hai cạnh góc vuông là x và y thì diện tích của nó bằng xy.
Trả lời: Độ dài hai cạnh của tam giác vuông là 9cm và 12cm.

32. Giải. Gọi thời gian một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x giờ ;
thời gian một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là y giờ.
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được :  (bể),
vòi thứ hai chảy được :   (bể).
Nếu cả hai vòi cùng chảy thì  giờ hay  giờ thì đầy bể. Do đó có phương trình:
 +   = 1
Lúc đầu chỉ vòi thứ nhất chảy và 9 giờ sau mới mở vòi thứ hai thì  giờ nữa đầy bể. Như vậy để đầy bể thì vòi thứ nhất chảy 9  giờ và vòi thứ hai chảy   giờ. Do đó có phương trình: 
  +  = 1
Giải hệ phương trình  ta được (x ; y) = (12 ; 8).
Trả lời: Một mình vòi thứ hai chảy thì sau 8 giờ đầy bể.

33. Trả lời : Nếu làm riêng thì người thợ thứ nhất làm trong 24 giờ xong việc.
Người thứ hai làm trong 48 giờ xong việc.

34. Giải. Gọi số luống rau trong vườn là x (luống) và số cây rau trong mỗi luống là y (cây), x > 0, y > 0 và y là số nguyên.
Ta có hệ phương trình  hay
Giải hệ phương trình này ta được (x ; y) = (50 ; 15).
Trả lời : Số cây rau trong vườn nhà Lan là : 750 cây.

35. Trả lời: Giá tiền một quả thanh yên là 3 rupi, một quả táo rừng thơm là 10 rupi.

36. Giải. Vì điểm số trung bình sau 100 lần bắn là 8,69 nên tổng số điểm 100 lần bắn là
8,69.100 = 869 (điểm).
25 + 42 + x+ 15 + y = 100 hay
Giải hệ này ta được : (x ; y) = (14 ; 4).

Giải. Giả sử vận tốc của vật thứ nhất là x cm/s, của vật thứ hai là y cm/s.
Điều kiện x > y > 0. Vì khi chạy cùng chiều, cứ sau 20 giây hai vật lại gặp nhau nên quãng đường đi được của vật thứ nhất nhanh hơn quãng đường đi được của vật thứ hai đúng một vòng tròn. Do đó có phương trình 20x - 20y = 20. Khi chạy ngược chiều thì sau 4 giây chúng lại gặp nhau nên tổng quãng đường đi của hai vật bằng đúng một vòng tròn. Do đó có phương trình 4x + 4y = 20.
Giải hệ phương trình:  ta được : (x ; y) = (3; 2).
Trả lời : Vận tốc của vật thứ nhất là 3 (cm)/s.
Vận tốc của vật thứ hai là 2 (cm)/s.

38. Trả lời :  Riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 2 giờ.
                      Riêng vòi thứ hai chảy đầy bể trong 4 giờ.

39. Giải. Gọi số tiền phải trả chưa tính thuế giá trị gia tăng cho loại hàng thứ nhất là x (triệu đồng); cho loại hàng thứ hai là y (triệu đồng).
Nếu thuế VAT của loại hàng thứ nhất là 10% và của loại hàng thứ hai là 8%
thì tổng số tiền phải trả là :
x + x + y + y hay x + y

Do đó có phương trình  x + y = 2,17.
Tương tự, nếu thuế VAT của cả hai loại hàng đều là 9% thì ta có phương trình
x + y = 2,18
Giải hệ phương trình:  hay
hay , ta được : (x ; y) =
Trả lời : Không kể thuế VAT, phải trả cho :
Loại hàng thứ nhất  triệu đồng hay 500 000đồng.
Loại hàng thứ hai  triệu đồng hay 1 500 000 đồng.

D. Bài tập luyện thêm

1. Xã Toàn Thắng năm ngoái cấy 30ha lúa tẻ và 70ha lúa nếp thu hoạch được tất cả 430 tấn. Năm nay xã cấy 60ha lúa tẻ và 40ha lúa nếp. Năm nay năng suất lúa tẻ tăng 1 tấn/ha, lúa nếp tăng 0,5 tấn/ha và thu hoạch được tất cả 540 tấn. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trong năm nay là bao nhiêu tấn trên 1ha ?

2. Trong một hội trường người ta xếp ghế thành hàng, số ghế ở mỗi hàng đều bằng nhau. Nếu giảm đi ba hàng và mỗi hàng tăng một ghế thì số ghế bớt đi 38 ghế. Nếu tăng một hàng và mỗi hàng giảm một ghế thì số ghế giảm đi 6 ghế. Hỏi trong hội trường có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

4. Người ta mở một vòi nước chảy vào một bể cạn, đồng thời mở một vòi từ bể chảy ra thì sau 8 giờ bể đầy. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi chảy vào và sau 2 giờ mới mở vòi chảy ra thì sau 2 giờ nữa được  bể nước. Hỏi nếu bể cạn và chỉ mở vòi chảy vào thì bao lâu đầy bể ?

5. Một người đi xe đạp từ Hà Nội đến Nam Định. 1 giờ 30 phút sau một ôtô cũng đi từ Hà Nội đến Nam Định (hai người cùng xuất phát từ một địa điểm ở Hà Nội). Nửa giờ sau khi khởi hành ôtô gặp người đi xe đạp. Ôtô đến Nam Định rồi quay trở về Hà Nội ngay. Ôtô gặp lại người đi xe đạp. Lúc này người đi xe đạp đã đi được 3 giờ 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp và của ôtô, biết rằng Hà Nội cách Nam Định 90km.

Hướng dẫn - Đáp số

1. Trả lời: Năng suất năm nay : lúa tẻ 6 tấn/ha ; lúa nếp 4,5 tấn/ha.

2. Giải. Gọi số hàng ghế là x (hàng), số ghế trong mỗi hàng là y (ghế).
Trong hội trường có xy (ghế).
Nếu giảm ba hàng và mỗi hàng tăng một ghế thì số ghế sẽ là: (x-3)(y + 1) (ghế).
Khi đó số ghế giảm đi 38 ghế nên ta có phương trình :
xy - (x - 3)(y + 1) = 38  hay -x + 3y = 35.
Nếu tăng một hàng và mỗi hàng giảm một ghế thì số ghế sẽ là : (x + 1)(y - 1) (ghế).
Khi đó số ghế giảm đi 6 ghế nên ta có phương trình :
xy - (x + 1)(y - 1) = 6 hay x - y = 5.
Giải hệ phương trình  , ta được (x ; y) = (25 ; 20).
Trả lời: Trong hội trường có 25 hàng ghế, mỗi hàng có 20 ghế

3. Giải. Giả sử bể cạn và một mình vòi chảy vào trong x giờ thì đầy bể.
Trong một giờ vòi chảy vào được  (bể).
Giả sử bể đầy một mình vòi chảy ra trong y giờ thì cạn bể.
Trong một giờ vòi chảy ra được :   (bể).
Do đó nếu mở đồng thời cả hai vòi trong 8 giờ thì được :  -  (bể).
Vì sau 8 giờ bể đầy nên ta có phương trình:  -  = 1.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi chảy vào, sau hai giờ mới mở vòi chảy ra thì sau 2 giờ nữa mới được  bể ; nghĩa là vòi chảy vào 4 giờ và vòi chảy ra 2 giờ thì được  bể. Do đó có phương trình:  -  =
Giải hệ phương trình:   , ta được : (x ; y) = (4 ; 8).
Trả lời : Nếu bể cạn và chỉ mở vòi chảy vào thì sau 4 giờ bể đầy.

4. Giải. Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x(km/h), vận tốc của ôtô là y (km/h). Vì người đi xe đạp và ôtô khởi hành từ cùng một địa điểm nên đến lúc gặp nhau hai quãng đường đi được của họ bằng nhau.
Vì người đi xe đạp đi trước 1 giờ 30 phút nên đến lúc gặp ôtô người đó đã đi 2 giờ. Do đó có phương trình : 2x = 0,5y.
Cho đến lúc người đi xe đạp gặp ôtô lần thứ hai thì người đi xe đạp đã đi được 3 giờ 36 phút hay  giờ, ôtô đã đi  -  =  giờ.
Do đó người đi xe đạp đã đi được quãng đường x (km), ôtô đi được y (km).
Tổng quãng đường người đi xe đạp và ôtô đã đi bằng 90.2 = 180 (km).
Vậy ta có phương trình  x + y = 180.
Giải hệ phương trình:  , ta được (x ; y) = (15 ; 60).
Trả lời :  Vận tốc của người đi xe đạp là 15km/h.
                Vận tốc của ôtô là 60km/h.
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây