Bài Kiểm Tra

https://baikiemtra.com

Giải bài tập Toán 9, chương IV, bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Giải bài tập Toán 9, chương IV, bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.
A. Tóm tắt kiến thức
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình ta làm theo các bước sau :
Bước 1. Lập phương trình :
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối liên quan giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Trả lời : trong các giá trị tìm được của ẩn, chọn các giá trị thoả mãn điều kiện ; đó là lời giải của bài toán.

B. Ví dụ
Bài toán của Ơ-le. Hai nông dân có tất cả là 100 quả trứng. Họ đem ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được cùng một số tiền. Một người nói với người kia : “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói : “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán chỉ được 6 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng ?

Phân tích. Vì số trứng không bằng nhau mà số tiền thu được lại bằng nhau nên tuỳ theo tài bán hàng của mỗi người mà giá bán một quả trứng của mỗi người khác nhau. Vì thế, để biết số tiền thu được của mỗi người, ta cần biết mỗi người bán 1 quả trứng với giá bao nhiêu tiền.

Giải. Gọi số trứng của người thứ nhất là x (quả), x  N*, x < 100.
Thế thì số trứng của người thứ hai là : 100 - x (quả).
Nếu số trứng của người thứ nhất bằng số trứng của người thứ hai thì bán được 15 đồng, có nghĩa là 100 - x quả thì giá tiền bằng 15 đồng.
Do đó người thứ nhất bán mỗi quả trứng với giá là :  đồng.
Ngược lại, nếu số trứng của người thứ hai bằng số trứng của người thứ nhất thì bán được 6  đồng. Do đó người thứ hai bán mỗi quả trứng với giá là : .
 =  đồng
Vì người thứ nhất có x quả trứng nên thu được :  x hay   đồng.
Người thứ hai thu được :   đồng.
Theo đầu bài, hai người bán được cùng một số tiền nên ta có phương trình :
 =   (1)
Giải phương trình (1):
(1) 15x.3x = 20(100 - x)(100 - x) 9x2 = 4(x2 - 200x + 10000)
5x2 + 800x - 40000 = 0 x2 + 160x - 8000 = 0.
' = 6400 + 8000 = 14400 = 1202   = 120.
x1 = -80 + 120 = 40, x2 = - 80 - 120 = -200 (loại).
Trả lời : Số trứng của người thứ nhất là 40 quả.
               Số trứng của người thứ hai là 60 quả.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa

41. Giải. Gọi số mà một bạn đã chọn là x và số bạn kia chọn là x + 5.
Tích của hai số là x(x + 5). .
Theo đầu bài ta có phương trình : x(x + 5) = 150 hay x2 + 5x - 150 = 0.
Giải phương trình :  = 25 - 4.(-150) - 625 = 252.
x1 = 10, x2 = -15.
Trả lời :  Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.
                Nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại.

42. Giải. Gọi lãi suất cho vay là x(%), x > 0.
Tiền lãi sau 1 năm là : 2 000 000. hay 20 000x  (đồng).
Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là : 2 000 000 + 20 000x (đồng).
Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là : (2 000 000 + 20 000x)  hay 20 000x + 200x2.
Số tiền sau 2 năm bác Thời phải trả là : 2 000 000 + 40 000x + 200x2.
Theo đầu bài ta có phương trình :
2 000 000 + 40 000x + 200x2 = 2 420 000 hay x2 + 200x - 2100 = 0.
Giải phương trình : x1 = 10, x2 = -210.
Vì x > 0 nên x2 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Lãi suất là 10%.

43. Giải. Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vận tốc lúc về là x - 5 (km/h).
Thời gian đi 120km là :  (giờ).
Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là :    + 1 (giờ).
Đường về dài 120 + 5 = 125 (km).
Thời gian về là :  (giờ).
Theo đầu bài có phương trình :
  + 1 =  
Giải phương trình :
x2 - 5x + 120x - 600 = 125x x2 - 10x - 600 = 0.
Ta có: x1 = 30, x2 =-20.
Vì x > 0 nên x2 = -20 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Vận tốc của xuồng khi đi là 30km/h.

44. Giải. Gọi số phải tìm là x.
Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là :  -
Theo đầu bài ta có phương trình :  =  hay x2 - x – 2 = 0
x1 = -1, x2 = 2.
Trả lời : Số phải tìm bằng -1 hoặc 2.

45. Giải. Gọi số bé là x, x  N*, số tự nhiên kề sau là : x + 1.
Tích của hai số này là : x(x + 1) hay x2 + x.
Tổng của chúng là : x + x + 1 hay 2x + 1.
Theo đầu bài ta có phương trình : x2 + x - 2x - 1 = 109 hay x2 - x - 110 = 0.
Giải phương trình :  = 1 + 440 = 441,  = 21.
Ta có : x1 = 11, x2 = -10.
Vì x > 0 nên x2 = -10 không thoả mãn điểu kiện của ẩn.
Trả lời : Hai số phải tìm là : 11 và 12.

46. Giải. Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), x > 0.
Vì diện tích của mảnh đất bằng 240m nên chiều dài là :  (m).
Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì mảnh đất mới có chiều rộng là x + 3 (m), chiều dài là  - 4 (m) và diện tích là : (x + 3)  (m2)
Theo đầu bài ta có phương trình :
(x + 3) = 240.
Giải phương trình :
Vì x > 0 nên từ phương trình này suy ra :
-4x2 - 12x + 240x + 720 = 240x
hay:   x2 + 3x - 180 = 0.
Giải phương trình :  = 32 + 720 = 729,  = 27.
Ta có : x1 = 12, x2 = -15.
Vì x > 0 nên x­2 = -15 không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 240 : 12 = 20 (m).
Trả lời : Mảnh đất có chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 20m.

47. Giải. Gọi vận tốc của bác Hiệp là x (km/h), x > 0, khi đó vận tốc của cô Liên là x - 3 (km/h).
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là :  (giờ).
Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là :   (giờ).
Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ ; tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình :  -  =
Giải phương trình :
x(x - 3) = 60x - 60x + 180 hay x2 - 3x - 180 = 0.
Ta có :  = 9 + 720 = 729,  = 27.
Ta có : x1 = 15, x2 = -12.
Vì x > 0 nên x2 = -12 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời:  Vận tốc của bác Hiệp bằng 15km/h.
               Vận tốc của cô Liên bằng 12km/h.

48. Giải. (h.36) Gọi chiều rộng của miếng tôn lúc đầu là x (dm), x > 0.
Chiều dài của nó là 2x (dm).
Khi làm thành một cái thùng không nắp thì chiều dài của thùng là 2x -10 (dm), chiều rộng là x -10 (dm), chiều cao là 5 (dm).
Dung tích của thùng là :
5(2x - 10)(x-10) (dm3).
h36

Theo đầu bài ta có phương trình :
5(2x - 10)(x - 10) = 1500 hay x2 - 15x - 100 = 0.
Giải phương trình :  = 225 + 400 = 625,  = 25.
Ta có : x1 = 20, x2 =-5 (loại).
Trả lời : Miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

49. Giải. Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.
Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).
Mỗi ngày đội I làm được  (công việc),
đội II làm được   (công việc),
cả hai đội làm được    (công việc).
Ta có phương trình :   +    =  
Giải phương trình : x(x + 6) = 4x + 4x + 24 hay x2 - 2x - 24 = 0.
' = 1 + 24 = 25 = 52
x1 = 1 + 5 = 6, x2 = 1 - 5 = -4.
Vì x > 0 nên x2 = -4 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc ;
               Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

50. Giải. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là : x (g/cm3), x > 0 ;
khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là : x - 1 (g/cm3).
Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là :   (cm3).
Thể tích của miếng kim loại thứ hai là :  (cm3).
Theo đầu bài ta có phương trình :   -  = 10.
Giải phương trình : 10x(x - 1) = 858x - 880x + 880 hay 5x2 + 6x - 440 = 0.
Ta có : ' = 9 + 2200 = 2209,  = 47.
Vậy x1 = 8,8, x2 = -10.
Vì x > 0 nên x2 = -10 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là : 8,8g/cm3 .
               Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là : 7,8g/cm3 .

51. Giải: Gọi lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: x(g); x > 0
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là:
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là :x + 40 + 200 (g).
Nồng độ của dung dịch bây giờ là :
Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình :
 -  =
Giải phương trình :
(x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40) hay x2 + 280x - 70400 = 0.
Ta có : ' = 19600 + 70400 = 90000, ' = 300 .
Vậy x1 = 160, x2 = - 440.
Vì x > 0 nên x2 = - 440 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160g nước.

52. Giải. Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h), x > 3,
vận tốc khi xuôi dòng là x + 3 (km/h), vận tốc khi ngược dòng là x - 3 (km/h).
Thời gian xuôi dòng là :  (giờ)
Thời gian ngược dòng là :  (giờ)
Nghỉ lại 40 phút hay  giờ ở B.
Theo đầu bài ta có phương trình :
 +  +  = 6.
Giải phương trình : 16(x + 3)(x - 3) = 90(x + 3 + x - 3) hay 4x2 - 45x - 36 = 0.
Ta có :  = 2025 + 576 = 2601,  = 51.
Vậy x1 = 12, x2 =  (loại).
Trả lời: Vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.

53. Hướng dẫn. (h.37) Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.
 
h37

Cách 1. Giả sử M là điểm chia đoạn AB và AB có độ dài bằng a.
Gọi độ dài của AM = x, 0 < x < a. Khi đó MB = a - x.
Theo đầu bài :  =   hay  =
Giải phương trình : x2 = a(a - x) hay x2 + ax – a2 = 0.
Ta có :  = a2 + 4a2 = 5a2,  = a .
Vậy: x1 = ; x2 =
Vì x > 0 nên x2 không thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy AM = ;
Trả lời: Tỉ số cần tìm là:  =

Cách 2. Gọi tỉ số cần tìm là x, x > 0.
Theo giả thiết ta có :  =  = x
Suy ra AM = AB.x. (1)
MB = AM.x.
Nhưng AB = AM + MB = AM + AM.X = AM( 1 + x) (2)
Thay biểu thức biểu diễn AB của (2) vào (1) ta được : AM = AM(1 + x)x.
Vì AM  0 nên từ đó suy ra : 1 = (1 + x)x hay x2 + x - 1 = 0.
Vậy x1 =  ; x2 =  (loại)

D. Bài tập luyện thêm

1. Một xí nghiệp dự định sản xuất 1920 sản phẩm trong một thời gian. Nhưng khi thực hiện đã cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày sản xuất được nhiều hơn năng suất quy định là 8 sản phẩm. Do đó hoàn thành kế hoạch trước thời gian dự định là 1 ngày. Hỏi theo dự định thì mỗi ngày xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?

2. Một xe du lịch đi từ A đến B. Sau đó nửa giờ một xe tải đi từ B đến A. Nó đi được 1 giờ 42 phút thì gặp xe du lịch. Hai xe tiếp tục đi, xe du lịch đến B trước khi xe tải đến A là 2 giờ 10 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng khoảng cách AB bằng 200km.

3. Hai đội công nhân nhận làm một con đường. Nếu cả hai đội cùng làm thì trong 63 ngày xong việc. Khi thực hiện đội I làm xong một nửa con đường thì đội II đến làm tiếp và họ hoàn thành nốt công việc trong thời gian ngắn hơn thời gian đội I đã làm là 16 ngày. Hỏi mỗi đội đã làm việc bao lâu để làm xong con đường ?

Hướng dẫn - Đáp số

1. Gọi số sản phẩm xí nghiệp dự định làm mỗi ngày là x, x  N*
Thế thì khi thực hiện mỗi ngày sản xuất được : x + 8 (sản phẩm).
Thời gian dự định là :  ngày.
Thời gian thực tê đã làm là :   ngày.
Theo đầu bài, ta có phương trình :  -  hay x + 8x - 15360 = 0.
Giải phương trình :  = 16 + 15360 = 15376 = 1242.
Ta có : x1 = - 4 + 124 = 120, x2 = - 4 - 120 = -124 (loại).
Trả lời : Mỗi ngày xí nghiệp dự định sản xuất 120 sản phẩm.

2. Phân tích. Vì xe du lịch đi trước xe tải nửa giờ và đến B trước khi xe tải đến A là 2 giờ 10 phút nên thời gian đi từ A đến B của xe du lịch ít hơn thời gian xe tải đi từ B đến A là 1 giờ 40 phút hay  giờ. Do đó nếu biểu diễn được thời gian đi hết quãng đường AB của mỗi xe thì ta có thể lập được phương trình.

Giải. Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h). 0 < x < 200.
Vì sau 1 giờ 42 phút hay giờ xe tải gặp xe du lịch nên khi đó nó đã đi được
 km và xe du lịch đã đi  km
Vì xe du lịch đi trước nửa giờ nên xe du lịch đã đi    +  =  giờ.
Do đó vận tốc của xe du lịch là  :    =  (km/h)
Như vậy thời gian xe tải đi từ B đến A là  giờ.
Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là 200 :  hay  giờ
Vì xe du lịch khởi hành trước xe tải nửa giờ và đến B trước khi xe tải đến A là 2 giờ 10 phút nên thời gian đi từ A đến B của xe du lịch ít hơn thời gian xe tải đi từ B đến A là 1 giờ 40 phút hay   giờ. Do đó ta có phương trình :
 -  =  hay  -  =
120(2000 - 17x) - 2640x = x(2000 - 17x) hay
17x2 - 2040x – 2640x - 2000x + 240000 = 0 hay 17x2 - 6680x + 240000 = 0.
Ta có : ' = 33402 - 17.240000 = 7075600 = 26602.
Vậy x1 =  =  ; x2 =  = 40
Vì x1 > 200 nên bị loại.
Do đó vận tốc của xe tải là 40km/h.
Vận tốc của xe du lịch là:    =  = 60 (km/h).
Trả lời: Vận tốc của xe tải là 40km/h.
              Vận tốc của xe du lịch là 60km/h.

3. Gọi thời gian đội I đã làm là x ngày, x > 16.
Thế thì thời gian đội II đã làm là x - 16 ngày.
Vì mỗi đội chỉ làm một nửa con đường nên mỗi ngày đội I làm được :  (con đường).
Mỗi ngày đội II làm được :  (con đường).
Nếu cùng làm thì cả hai đội mỗi ngày làm được :  (con đường).
Do đó có phương trình :  +  =  
hay 63(x + x - 16) = 2x(x - 16) hay x2 - 79x + 504 = 0.
Ta có :  = 792 - 4.504 = 4225 = 652.
Vậy x1 =  = 72, x2 =   = 7 (loại vì 7 < 16).
Trả lời: Đội I đã làm 72 ngày.
              Đội II đã làm 56 ngày.
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.