Bài Kiểm Tra

https://baikiemtra.com

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 6: Cung chứa góc

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 6: Cung chứa góc : Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.
A. Tóm tắt kiến thức
1. Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB và góc  (0o <  < 180o) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn  =  là hai cung chứa góc   dựng trên đoạn AB (h.77).
h77 h78

Đặc biệt : Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB (h.78).

2. Cách vẽ cung chứa góc  dựng trên đoạn AB
- Dựng đường trung trực d của AB.
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc .
- Dựng đường thẳng Ay Ax ; Ay cắt d tại O.
- Dựng cung AmB tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

3. Cách giải một bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thoả mãn tính chất t là một hình h nào đó, ta phải chứng minh hai phần :
+ Phần thuận : Mọi điểm M có tính chất t đều thuộc hình h
+ Phần đảo : Mọi điểm M thuộc hình h có tính chất t
Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất t là hình h

B. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CB. Hỏi khi dây AC quay quanh A thì điểm M di động trên đường nào ?
 
Giải (h.79)
Ta có  = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra CMB vuông cân, do đó M = 45o
Điểm M nhìn thấy đoạn AB cho trước dưới một góc 45o nên điểm M nằm trên cung chứa góc 45o dựng trên đoạn AB.
h79
Nhận xét: Bài toán này chưa phải là bài toán tìm quỹ tích. Bài toán chỉ hỏi khi dây AB quay quanh A thì điểm M di động trên đường nào nên ta chỉ làm phần thuận mà thôi.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn. Qua A vẽ cát tuyến ABC bất kì. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm quỹ tích của điểm M khi cát tuyến ABC quay quanh A.
 
Giải (h. 80).
a) Phần thuận
Ta có MB = MC nên OM BC. Điểm M nhìn thấy đoạn AO cho trước dưới một góc vuông nên điểm M nằm trên đường tròn đường kính AO.
h80

Giới hạn : Khi cát tuyến ABC quay đến vị trí tiếp tuyến của đường tròn (O) thì hai điểm B và C trùng nhau và trùng với trung điểm M. Khi đó điểm M di động tới vị trí M1 hoặc M2. Điểm M không thể ở ngoài đường tròn (O).

b) Phần đảo :
Trên cung M1OM2 lấy điểm M bất kì. Vẽ cát tuyến ABC đi qua M.
Ta phải chứng minh MB = MC.
Thực vậy,  = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó OM BC,
suy ra MB = MC.
Kết luận : Quỹ tích trung điểm M của BC khi cát tuyến ABC quay quanh A là cung tròn M1OM2 của đường tròn đường kính AO.
Nhận xét: Trong lời giải trên, ngoài phần thuận, phần đảo còn cộ thêm phần giới hạn. Nhờ có phần này mà ở phần đảo ta biết lấy điểm M trong phạm vi nào của  đường tròn đường kính AO.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
 
44. Giải (h.81).
- Phần thuận :
Tam giác ABC vuông tại A nên B + C = 90°.
Do đó :   = 45o hay  +  = 45o.
Suy ra:   = 180o- 45o = 135o.
Điểm I nhìn đoạn BC cho trước dưới một góc 135o nên điểm I di động trên hai cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng BC.
 
h81
- Phần đảo :
Lấy điểm I bất kì trên cung chứa góc 135o dựng trên đoạn BC. Vẽ tia Bx sao cho tia BI là tia phân giác của góc CBx. Vẽ tia Cy sao cho tia CI là tia phân giác của góc BCy. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A. Ta phải chứng minh ABC vuông tại A.
Thật vậy:  = 135o nên  +  = 180o – 135o = 45o.
Suy ra:   +  = 2(  +  ) = 2.45o = 90o.
Xét ABC có A  = 180o – 90o = 90o nên  ABC vuông tại A.
Kết luận : Vậy quỹ tích của điểm I là hai cung chứa góc 135o dựng trên đoạn BC (trừ hai điểm B và C).
 
45. Giải (h.82)
- Phần thuận :
Vì ABCD là hình thoi nên AC   BD, suy ra AOB = 90o. Điểm O nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc 90o nên O nằm trên đường tròn đường kính AB.
h82
- Phần đảo:
Lấy điểm O bất kì trên đường tròn đường kính AB (O không trùng với A và B). Vẽ tia AO, trên đó lấy điểm c sao cho OC = OA. Vẽ tia BO, trên đó lấy điểm D sao cho OD = OB. Ta phải chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi. (Bạn đọc tự chứng minh).

Kết luận: Quỹ tích của điểm O là đường tròn đường kính AB (trừ hai điểm A và B).

Cảnh báo: Nếu nói điểm O nhìn đoạn BC (hoặc CD, AD) dưới một góc vuông nên O nằm trên đường tròn đường kính BC (hoặc CD, AD) thì phạm phải một sai lầm nghiêm trọng vì những đoạn thẳng này không cố định.

46. Hướng dẫn : Vẽ theo bốn bước trong sách giáo khoa.

47. Giải: a) Vẽ các đoạn thẳng M1A, M1B. Tia BM1 cắt cung chứa góc tại C (h.83a).
Ta có  = 55o. Xét M1AC có M1B  là góc ngoài tại M1, suy ra  là góc ngoài tại M1, suy ra  >  hay  > 55o
h83

b) Vẽ các đoạn thẳng M2A, M2B. Tia M2B cắt cung chứa góc tại C (h.83b).
Ta có  = 55o. Xét M2AC có góc ACB là góc ngoài tại C nên  > , do đó  < 55o.
 
48. Giải. Trường hợp đường tròn (B) có bán kính nhỏ hơn BA (h.84).
* Phần thuận
Vì AT và AT’ là các tiếp tuyến nên AT BT ; AT’ BT’, do đó  = 90o ;  = 90o. Các điểm T và T nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc 90o nên T và T’ di động trên đường tròn đường kính AB.
h84
* Phần đảo
Lấy điểm T trên, đường tròn đường kính AB. Vẽ đường tròn (B ; BT) cắt đường tròn đường kính AB tại một điểm thứ hai là T’. Ta phải chứng minh AT và AT’ là các tiếp tuyến của đường tròn (B).
Thực vậy,  =  = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó AT, AT là các tiếp tuyến của đường tròn (B). 
Trường hợp đường tròn (B) có bán kính BA : Khi đó các tiếp điểm T và T’ trùng với A.
Kết luận: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính AB.
 
49. Hướng dẫn
Cách dựng (h.85)
- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.
- Dựng cung chứa góc 40o dựng trên đoạn BC.
- Dựng xy // BC và cách BC là 4cm, cắt cung chửa góc tại A.
- Nối AB, AC ta được ABC phải dựng.
h85

50. Giải (h.86)
a) Ta có  = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét MIB vuông tại M, ta có :
tgI =  =  , suy ra:    26o34’
Vậy góc I luôn bằng 26o34’.
h86
b) Phần thuận
Điểm I nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc 26o34’ nên điểm I di động trên hai cung chứa góc 26o34’ dựng trên đoạn AB.

Giới hạn: Khi điểm M trùng với B thì I trùng với B, khi điểm M trùng với A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến I1AI2. Khi đó điểm I trùng với I1 hoặc I2. Vậy điểm I chỉ thuộc hai cung I1mB và I2m’B.

- Phần đảo
Lấy điểm I bất kì trên cung I1mB hoặc I2m’B. Vẽ dây IA cắt đường tròn đường kính AB tại M. Ta phải chứng minh MI = 2MB.
Thực vậy, xét MIB vuông tại B, có :
 = tgI = tg26o34’ = , do đó MI = 2MB.

Kết luận: Quỹ tích của điểm I là hai cung I1mB và I2m’B chứa góc 26o34’ dựng trên AB (I1I2 AB tại A).
 
51. Giải (h.87)
Xét ABC có  = 60o nên  +  =120o ; do đó:   = 60o
Xét BIC có :  = 180o -   = 120o
Tứ giác AB’HC’ có '  = '   = 90o
nên  = 180o – 60o = 120o.
Xét đường tròn (O) có :  = 2   = 120o.
Ba điểm H, I, O cùng nhìn đoạn BC dưới một góc 120o nên ba điểm này nằm trên cung chứa góc 120o dựng trên BC. Do đó năm điểm H, I, O, B, C cùng thuộc một đường tròn.
h87

52. Giải (h.88)
Gọi vạch ngang của cầu môn là AB và H là trung điểm của nó. Chấm phát đền M nằm trên đường trung trực của AB và MH = 11m, AH = 3,66m.
Giả sử AMB =  thì  =
Ta có: tg  =  =    0,3327
Do đó:     18o 24’ = 36o48’.
Vậy góc sút phạt đền là 36o48’. Bất cứ điểm nào trên cung chứa góc 36o48’ dựng trên đoạn AB cũng có góc sút như quả phạt đền 11m.
h88

D. Bài tập luyện thêm

1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF (E nằm trên cung AF) sao cho
 = 70o. Hai dây AF và BE cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích của điểm M khi cung EF di động trên nửa đường tròn.

2. Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tìm quỹ tích của điểm M.

3. Cho đường tròn đường kính AB cố định. Vẽ dây cung AC và trên đó lấy điểm M sao cho AM =  AC. Tìm quỹ tích của điểm M khi dây AC quay quanh A.

4. Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, AC = 5 cm và đường cao BH = 3,5cm.

Hướng dẫn - đáp số
1. (h.89)
+ Phần thuận :  =  =  = 125o
Điểm M nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc 125o nên điểm M nằm trên cung chứa góc 125o dựng trên đoạn AB.   
+ Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên cung chứa góc 125o dựng trên đoạn AB. Các tia AM và BM cắt nửa đường tròn tại F và E. Ta phải chứng minh sđ  = 70o.
Thực vậy, ta có   = .
Mặt khác,  = 125o nên  = 125o suy ra sđ  = 70°

Kết luận: Quỹ tích của điểm M là cụng chứa góc 125o dựng trên đoạn AB (cung này nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn).
h89
 
2. (h.90)
- Phần thuận: Ta có ADC = CEB (c.g.c), suy ra  =   . Mặt khác   +   = 60o nên +   = 60o.
Điểm M nhìn BC cho trước một góc là 120o nên M nằm trên cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC.
h90
- Phần đảo:
Lấy điểm M bất kì trên cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC. Các tia BM và CM cắt AC và AB lần lượt tại E và D. Ta phải chứng minh AD = CE.
Thực vậy, ta có  = 120o nên +  = 60o.
Mặt khác +  = 60o nên  =
Suy ra ADC = CEB (g.c.g), do đó AD = CE.

Kết luận: Quỹ tích của điểm M là cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC (cung này thuộc nửa mặt phảng bờ BC có chứa A).

Ta có ACB = 90° nên AMD = 90°.
 
3. (h. 91)
+ Phần thuận:
Trên AB lấy điểm D sao cho AD = AB
Mặt khác: AM = AC nên MD // CB (định lý Ta-lét đảo)
Ta có:  = 90o nên  = 90o
h91
Điểm M nhìn đoạn AD cho trước dưới một góc vuông nên điểm M nằm trên đường tròn đường kính AD.

+ Phần đảo:
Lấy điểm M bất kì trên đường tròn đường kính AD. Tia AM cắt đường tròn đường kính AB tại C.
Ta phải chứng minh AM =  AC.
Thực vậy, ta có  = 90°,  = 90o, suy ra MD // CB.
Do đó:  =   =   hay AM =  AC.
Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đường tròn đường kính AD.

Nhận xét: Trong hình vẽ có đoạn AB cố định. Điểm M nhìn thấy đoạn AB cho trước dưới một góc luôn thay đổi nên chưa thể vận dụng được cung chứa góc .
Đề bài có cho AM =  AC tức là   =  
nên ta nghĩ đến việc vẽ MD // CB (D  AB) để vận dụng định lí Ta-lét, suy ra được điểm D cố định.
 
4. Cách dựng (h.92) :
- Dựng nửa đường tròn đường kính BC = 4cm.
- Dựng cung (B ; 3,5cm) cắt nửa đường tròn đường kính BC tại H.
- Trên tia CH đặt CA = 5cm.
- Nối AB ta được ABC phải dựng.
h92
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây