Loading...

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 7: Tứ giác nội tiếp

Thứ năm - 29/08/2019 22:49

Giải bài tập Hình học 9, chương III, bài 7: Tứ giác nội tiếp: Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.

Loading...
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định nghĩa
1. Tứ giác ABCD có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp (h.93).
2. Định lí
Trong một tứ giác nôi tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o.
3. Định lí đảo
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.
h93
 
4. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
a) Dùng định nghĩa
b) Dùng định lí đảo.
c) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
d) Tứ giác ABCD, có  =  =  thì tứ giác ABCD nội tiếp (h.94).
h94

B. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong hình 95, chứng minh CM // DN.
h95,96
Giải: (h.96)
Vẽ dây chung AB. Xét tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O), ta có  =  (cùng bù với ).(1)
Xét tứ giác ABND nội tiếp đường tròn (O’), ta có:
 +  = 180o.(2)
Từ (1) và (2), suy ra :
  +   = 180o,
suy ra CM // DN (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Nhận xét : Khi có hai đường tròn cắt nhau, nếu cần vẽ đường phụ thì ta vẽ thêm dây chung. Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho '  > 90o. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C. Tia O’A cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDOO’ nội tiếp ;
b) Tứ giác OCO’B nội tiếp ;
c) Năm điểm O, B, O’, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
 
Giải (h.97)
a) Các tam giác OAD, O’AC cân nên  =   ;   =  .
Mặt khác   =    (đđ) nên    = . Tứ giác OO’CD có hai đỉnh C và D cùng nhìn OO’ dưới một cặp góc bằng nhau nên tứ giác OO’CD nội tiếp.
h97

b) Ta có : AOO’ = BOO’ (c.c.c), suy ra '  = '  
'   +   = 180o (kề bù) nên '   +   = 180o
Do đó tứ giác OBO’C nội tiếp.

c) Tứ giác OO’CD nội tiếp nên bốn đỉnh O, O’, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tứ giác OBO’C nội tiếp nên bốn đỉnh O, B, O’, C cùng nằm trên một đường tròn.
Hai đường tròn này có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, do đó năm điểm B, O, O’, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Nhận xét: Phương pháp chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn trong ví dụ trên là dựa vào tính chất : Nếu hai đường tròn có ba điểm chung thì chúng trùng nhau.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa

53. Đáp số:
Cột 1)  = 100o;   = 110o.
Cột 2)  = 75o;  = 105o
Cột 3)  = 120o ; Các góc  và  không xác định được.
Cột 4)  = 140o ; Các góc  và  không xác định được.
Cột 5)  = 106o;  = 115o.
Cột 6)  = 85o ;  = 82o.
 
51.Giải (h.98)
Tứ giác ABCD có   +   = 180o nên nội tiếp được trong đường tròn (O).
Ta có OA = OB = OC = OD nên điểm O nằm trên đường trung trực của AB, của AC và của BD, từ đó suy ra đpcm.
h98

55. Đáp số: 50o ; 55o ; 80o ; 90o ; 120o ; 45o ; 100o.
 
56. Giải (h.99)
Ta đặt  =   = x.
Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác ta có :
  = x + 40o
 = x + 20o.
Ta lại có:
+  = 180o
nên x + 40o + x + 20o = 180o.
Suy ra x = 60o.
Do đó  = 100o ; = 80o.
Từ đó tính được  = 120o ;  = 60o.
h99

57. Hướng dẫn.
Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được.
 
58. Giải (h.100).
a) Tam giác ABC đều nên  =   = 60o.
Tam giác BDC cân nên  =   = 60o : 2 = 30o.
Do đó  =  = 60o + 30o = 90o.
Tứ giác ABCD có  +   = 180o nên nội, tiếp được trong một đường tròn.

b) Vì   = 90o nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Vậy tâm O của đường tròn này là trung điểm của AD.
h100
 
59. Giải (h. 101)
Vì AB // CD nên  =  ,
suy ra AP = BC. (1)
Mặt khác AD = BC (2) nên từ (1) và (2) ta có AP = AD.
Nhận xét: Bạn cũng có thể chứng minh  =  (cùng bằng góc B) để suy ra AD = AP.
h101
 
60. Giải (h. 102)
Đặt tên các điểm A, B và đánh số các góc như trong hình vẽ.
Vẽ các dây chung IA, IB. Xét các tứ giác AIST, BISQ, AIBP, ta có :
 =  (cùng bù với ).
 =  (cùng bù với ).
 =  (cùng bù với  ).
Suy ra    =  , do đó QR // ST (vì có cặp các góc so le trong bằng nhau).
h102

D. Bài tập luyện thêm

1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Qua M vẽ một đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác ABFE nội tiếp ;
b) EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.

2. Trên một cạnh của góc M ta lấy hai điểm A và B (MA < MB). Trên cạnh kia lấy hai điểm c và D (MC < MD) sao cho MA.MB = MC.MD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

3.Cho hình thang cân ABCD (AB là đáy nhỏ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo cắt nhau tại p, hai cạnh bên kéo dài cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ADOP, BCOP nội tiếp.
b) Tứ giác QBOD nội tiếp.

4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, các tia tiếp tuyến Ax, By. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn và N là một điểm trên AB. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với MN cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM và CN, gọi F là giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ACMN, BDMN nội tiếp ;
b) Tứ giác EMFN nội tiếp ;
c) EF // AB.

5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Các dây MD, MC cắt AB lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác EFCD nội tiếp.
b) Gọi P là giao điểm của các tia DA và CM, gọi Q là giao điểm của các tia CB và DM. Chứng minh tứ giác PQCD nội tiếp.
c) Chứng minh PQ // AB.

Hướng dẫn - Đáp số
1.(h.103).
a) Vì EF // CD nên  +  = 180o.
Suy ra  +  = 180o
Do đó tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Ta có EF // CD nên  =  (cặp góc đồng vị). Mặt khác   =   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Suy ra  =  
 =  nên  =  .
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABM.
h103
 
2. (h.104)
Vì MA.MB = MC.MD nên  =  
 MAC    MDB (c.g.c) suy ra:  = , do đó tứ giác ABDC nội tiếp, dẫn tới bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
h104
 
3. (h.105).
a) Vì AB // CD nên  =  , ta có :
 =  = sđ
Mặt khác  = sđ  
Suy ra    =  , do đó tứ giác APOD nội tiếp. Chứng minh tương tự ta được tứ giác BPOC nội tiếp.

b) Tứ giác APOD nội tiếp nên
 =  (cùng bù với góc APO).
Tứ giác BPOC nội tiếp nên   =  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC).
Suy ra  =  .
Tứ giác QBOD có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện nên QBOD nội tiếp.
h105
 
4. (h.106).
a) Tứ giác ACMN có  +   = 180o nên nội tiếp đường tròn. Chứng minh tương tự ta được tứ giác BDMN nội tiếp.

b) Ta có  =   ;   =   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).
Vậy CND   AMB (g.g),
suy ra  =   .
Ta có  = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra  = 90o.
Tứ giác EMFN có  +   = 180o nên nội tiếp đường tròn.
h106

c) Ta có    =  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EN),
   =  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN),
   =    (cùng phụ với góc ANC).
Suy ra   = , do đó EF // AB (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Nhận xét: Khi đã chứng minh được một tứ giác nội tiếp ta có thể vẽ đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó để dễ nhận ra các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Đó chính là lợi ích của chứng minh tứ giác nội tiếp.
 
5. (h.107).
a)  =  =  =  
Mặt khác, ta có :  =  
Do đó   =   .
Suy ra tứ giác EFCD nội tiếp.

b)  =  
 =  . Mà  =  nên:
  =  , do đó tứ giác PQCD nội tiếp.       

c) Ta có  =  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PD),
 =  (chứng minh trên)
nên  = .
Suy ra PQ // AB (vì có cặp góc sole trong bằng nhau).
h107
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.
Loading...

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây