Giải bài tập Hình học 9, chương I: Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Vẽ một tam giác vuông. Có một góc nhọn 34^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34^o là:

Giải:

Giả sử ta vẽ tam giác ABC vuông tại A, có góc  = 34o . Khi đó, các tỉ số lượng giác của góc 34o là: sin34° = sinC =     cos 34o = cos C =     tg34o = tgC =      cotg34o = cotg34o = cotgC =

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Giải:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có: AB2 = CA2 + CB2 = 92 + 122 AB2 = 225 ⇒ AB =   = 15 (m) Vậy: sinB =  =  = cosB =  =  = tgB =  =  = cotgB =  =  =   * Vì  và   là hai góc phụ nhau (do ABC vuông tại C) sinA = cosB =  ;     sinB = cosA = tgA = cotgB =  ;      tgB = cotgA =

Bài 3. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:
sin 60°,    cos75°,    sin52°30’,    cotg82°,     tg80°.

Giải:

Vì góc 60° và góc 30° là hai góc phụ nhau, nên: sin 60° = cos 30°
- Tương tự, 75^o và 15° lá hai góc phụ nhau, nên: cos75° = sin15°
- Góc 52°30’ và góc 37^o30’là hai góc phụ nhau, nên: sin52°30’ = cos37^o30’
- Góc 82° và góc 8^o là hai góc phụ nhau, nên: Cotg82° = tg8^o
- Góc 80° và góc 10° là hai góc phụ nhau, nên: tg80° = cotg10^o

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của các góc  và .

Giải:

*  = 60° (góc A đều) *  = 30° (AH cũng là phân giác) * AB = AC = BC = a ( ABC đều) *Vận dụng định nghĩa về các tỉ số lượng giác sẽ tính được:

sin  = sin 60^o = ; cos  = cos 60^o =
tg  = tg60^o = ; cotg  = cotg60^o =  =
sin  = sin30^o = ; cos  = cos30^o =
tg  = tg30^o = ; cotg  = cotg30^o =
 

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A, kẻ đường cao AH.  Cho BC = 30cm, BH = 2cm, chứng minh tgB = 14tgC.

Giải:

Ta có: HC = BO - BH = 30 - 2 = 28 (cm)
 ABH vuông tại H nên: tgB =  =   (1)
 ACH vuông tại H nên: tgC =  =   (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:  =  :   = .  
Vậy tgB = 14tgC

Bài 3. a) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.
Chứng minh rằng:  =  =

b) ABC có  nhọn
Chứng minh rằng  = b.c.sinA
c) ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH = h, cạnh BC = a. Chứng minh rằng cotgB + cotgC = 2 khi và chỉ khi a = 2h.

Giải:

a) Dựng đường cao AH, ta có: sinB = ; sinC = ⇒  = .

⇒  =  ⇒  =
Tương tự:  =  
Từ đó ta có:  .  =  
 

b) Kẻ CH vuông góc với AB, ta có: CH = AC. sin A ⇒  =  = (AB.AC.sinA) Tức là:  = b.c.sinA c) Giả sử: cotgB + cotgC = 2 Ta có: cotgB = , cotgC = ⇒ cotgB + cotgC =  +  = ( ABC nhọn nên H thuộc BC) Như vậy:  = 2 ⇒ a = 2h Ngược lại, giả sử: a = 2h Ta có: cotgB = , cotgC = ⇒ cotgB + cotgC =  +  = =  =  =  = 2

 

Bài 4. Một tam giác vuông có một góc 60o và cạnh huyền là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.

Giải:

Giả sử: ABC vuông tại A, có  = 60^o ; BC = 8. Tính độ dài AC.
Từ tam giác vuông ABC, ta có: sinB – sin60^o =
⇒ AC – sin60^o. BC
Mà: sin60^o =  ; BC = 8 ⇒ AC = .8 = 4
Vậy cạnh đối diện với góc 60^o là 4

Bài 5. Chứng tỏ rằng: cos²x + cos²y =  +  

Giải:
Trước hết ta chứng minh: cos²x =
Biết rằng: 1 = cos²x + sin² x ⇒ (1)  =  (1)
Ta cũng có: tgx =  ⇒ sinx = cosx.tgx ⇒ sin²x = cos²x.tg²x
Từ (1) ⇒ cos²x =   (2)
Đơn giản cos²x ở tử và mẫu của vế phải ở (2): cos²x =
Chứng minh tương tự, ta có: cos²y =
Vậy: cos²x + cos²y =  +

Bài 6.  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong ABC, hãy chứng minh:  =  +  

Giải:
 

Từ tam giác vuông AHB, ta suy ra: sinB = ⇒ sin2B =    (1)

Từ tam giác vuông AHC, suy ra:
sinC =  = cosB (do  +  = 90^o) ⇒ cos²B =  (2)
Cộng (1) và (2) theo vế:
sin²B + cos²B =  +
1= AH²    (do sin²B + cos²B = 1)
⇒  =  +  (đpcm)