Giải bài tập Hình học 9, luyện tập một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Bài 1. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Giải:

Ta có: * BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5
*  =  +  =  +   =  
⇒ AH² =  ⇒ AH =  = 2,4
* AB² = BH.BC ⇒ BH =  =  = 1,8
* CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2

Bài 2. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác

Giải:
 

Ta có BC = BH + IIC = 1+2 = 3 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: * AB2 = BC.CH = 3.1 = 3 ⇒ AB = AC2 = BC.CH = 3.2 = 6 ⇒ AC = Vậy AB =  ; AC =

Bài 3. Người ta đưa ra hai cách dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b như trong hai hình sau:


Dựa vào các công thức (1) và (2), hãy chứng minh các cạnh dựng trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy vuông.

Giải:

Cách 1 Kí hiệu các điểm như hình vẽ. Ta có OA = OB = OC =  BC Tam giác ABC có trung tuyến AO bằng một nửa cạnh tương ứng BC nên nó là tam giác vuông tại đỉnh A, đường cao AH. Áp dụng định lí 2 ta có: AH2 = BH. CH ⇒ x2 = a.b Cách 2. Làm như phần trên. Áp dụng định lí 1

Bài 4. Tìm x và y trong các hình sau:


Giải:

a) Ta có: x² = 4.9 = 36 ⇒ x = 6.
b) Ta có: :* 2² = x . x ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2
* y² = x(x + x) = 2.4 = 8 ⇒ y =  2 .
Ta có: * 12² = x.16 ⇒ x =  = 9
Vậy: x = 9
y² = x(x + 16) = 6 (9 + 16) = 9.25 = 225 ⇒ y = 15

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K, kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là tam giác cân
b) Tổng  +   không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Giải:

a) Ta có:  =   (cùng phụ với góc  ) Hai tam giác vuông ADI và CDL có một góc nhọn bằng nhau và AB = DC nên:  ADI =  CDL ⇒ DI = DL ⇒ DIL cân tại đỉnh D b) Trong tam giác vuông DKL thì DC là đường cao ứng với cạnh huyền nên:  +  =   Vì DI = DL nên ta cũng có:  +  =   DC là cạnh của hình vuông ABCD nên  = không đổi Vậy:  +  = không đổi