Giải bài tập Toán 9, chương I: bài 7: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5  +  + 5 ;                            b)  +  +
c)  -  + 3  +                d) 0,1  + 2  + 0,4.

Giải:
a) 5  +  + 5 =  + 2  +  = 3

b)  +  +  =  +  +  
=  + 3  + 5  = 9   =

c)  -  + 3  +  =  -  +3  +
= 2  - 3  + 9  + 6  = 15  -
d) 0,1  + 2  + 0,4.  = 0,1  + 2  + 0,4
= 0,1.  +  + 0,4.5  =  +  + 22  =

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a > 0, b > 0):
a) 5  – 4b  + 5a  - 2
b) 5a  - .  + 2ab  – 5b

Giải:
a) 5  – 4b  + 5a  - 2  
= 5  – 20ab  + 20ab  - 6   = -  

b) 5a  - .  + 2ab  – 5b
= 40ab  – 6ab  + 6ab  – 45ab  = -5ab

Bài 3. Cho biểu thức:
B =  -  +  +  với x  -1
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Giải:
a) Với x  -1
Ta có: B =  -  +  +  
= 4  – 3  + 2  +  = 4  

b) B = 16 ⇔ 4  = 16 ⇔  = 4 ⇔ x +1 = 16 ⇔ x =15
Vậy: x = 15

Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)  +  - 4  =
b) :  =  2  với x > 0

Giải:
a) Ta có: VT =  +  - 4  =  +  - 2  
=    =  .  =  = VP

b) Ta có: VT = :  
=  :  
= 2  :  = 2  = VP

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài 1. Tính:  -   

Giải:
 -  =  =  = -

Bài 2. Tính:  -  

Giải:

Ta có thể viết:
 = 5 - 2  + 3
= ( )² - 2  .  + ( )² = ( )²
⇒  =  = | | =
Tương tự ta có:  =  +
Do đó ta có:
 -  
= (  - ) – (  + ) =  -  -  -  = -2
Vậy:  -  = -2

Bài 3. a) Thực hiện phép tính:
b) A =  -  -
c) Tính các biểu thức sau (không dùng máy tính):
A = 4  + 2  -  + 40
B = x³ – 6x với x =  +  

Giải:

a) Ta có:
 = ( )³ - 3( )² . 1 + 3  . 1² - 1^3
= 7  – 21 + 3  – 1 = 10  – 22 = 2(5  - 11)
Do đó ta có:  =  = 2
Vậy:  = 2

b) Xét biểu thức: A =  -  -
Đặt x =  -  , x > 0
Ta có: x² = 4 + - 2  + 4 -
= 4 +  - 2  + 4 -  = 4 +  – 6 + 4 -
Vì x > 0 ⇒ x =
Do đó ta có:
A =  -  -  =  -  = 0
Vậy A = 0

c) A. Học sinh tự giải
B. Ta có: 20 + 14  = 8 + 12  + 12 + 2
= 2³ + 3.2³  + 3.2( )² + ( )³ = (2 + )³
⇒  =  = 2 +
Tương tự ta có:
 =  = 2 -
⇒ x =  +  = (2 + ) + (2 - )
= 2 +  + 2 -  = 4
Do đó ta có: B = x³ – 6x = 64 – 24 = 40
Vậy: B = 40

Bài 4. Thực hiện các phép tính:
a)  :
b)  :

Giải:

a) Ta có:
M =  =  +  (vì ab² + c > 0)
N =
M : N =  (vì    0;  > 0)

b)  M =  =  -
=  -  =  =
M : N = .  = .  
=  = a  = a  (  + 1)

Bài 5. Rút gọn biểu thức sau:
A =  : (x - y) +
Ta có:  = ( )³ + ( )³ = (  + ) (x -  + y)
⇒  : (x - y) = (x – 2  + y) : (x - y)
= (  - )² : (  - ) (  + ) =
Do đó: A =  +  =  = 1

Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 5a² – 4a  + 4 với a =  +
b) B =  với a =  +
c) C =  với a =  -

Giải:

a) Ta có thể viết: A = 5a² – 4a  + 4 = (a )² – 2a  + 2² = (a  - 2)²
Với: a =  +   ⇒ a  = 5 + 1 = 6 ⇒ A = (6 - 2)² = 16
Vậy A = 16

b) Ta có: B =  =  = | |
Với a =  +  ⇒ a  = 3 + 5 = 8 ⇒ B = |8 - 4| = 4
Vậy B = 4
c) Ta có: C =  =  = | |
Với a =  -  ⇒ a  = 2 -1 = 1
⇒ C = |1 - 2| = 1

Bài 7. Chứng minh rằng:
a)  +  = 3
Với x > 0, y > 0 và x  y
b)  -  =

Giải:

a) Biến đổi vế trái, ta có:
 +
=  +
=  +
=  +  =  = 3
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

b) Ta có:  -
=  -   = |x + 2| - |x - 1|

* Nếu x  -2 thì: |x + 2| - |x - 1| = -x – 2 – (1 - x)
= -x - 2 - 1 + x  = -3

* Nếu -2 < x  1 thì : |x + 2| - |x - 1| = x + 2 - (1 - x)
= x + 2 – 1 + x = 2x + 1

* Nếu x > 1 thì: |x + 2| - |x -1| = x + 2 - (x -1)
= x + 2 - x + 1 = 3

Bài 8. a) Cho biểu thức: P =
Chứng minh rằng: P =
b) Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: với x > 0
Q =  .  với x > 1
R =  +  +  với x  0

Giải:
a) Điều kiện: ⇔
P =  =  =
* Khi  thì:
P =  =  = -
* Khi x  2 thì:
P =  =  =
Vậy: P=

b) * Với x > 1 thì giá trị của biểu thức Q xác định, ta có:
Q =  .  
= .  = 2x = 2
Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

* Với x  0 thì giá trị của biểu thức R xác định, ta có:
R =  +  +  
=
=  = 2
Vậy giá trị của biểu thức R không phụ thuộc vào giá trị của biến x.