Giải bài tập Toán 9, chương I: bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Bài 1. Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
a)  ;                b)  ;     c) 0,1  ;
d) - 0,05    e)

Giải:
 
a)  =  = 3.

b)   =  = 6  

c) 0,1  = 0,1   = 0,1.100.  = 10  

d) - 0,05  = -0,05  = 0,05.120  = - 6

e)  =  =7.3 | a | = 21|a|

Bài 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
3  ; - 5 ; -  ; x  với x > 0 và y  0
Giải: 
* 3  =  =  =
* - 5  = -   = -
* -   = -  = -
* x  =  =  (x > 0)

Bài 3. So sánh:
a) 3  và                 b) 7 và 3
c)  và    d)  và 6

Giải: 

a)  Ta có: 3  =  . Vì 27 > 12 ⇒  >
Vậy: 3  >

b) 3 =  ; 7 =  vì 49 > 45 nên 7 > 3

c) Ta có:  =  =  ;  =  =   =  
Vì:  < 6 ⇒  <  

d)  = ; 6  =  . Ta có:  < 18
Vậy:  < 6  

Bài 4. Giải phương trình:
a) 2  - 4  = 27 - 3     b) 3  - 3  + 3  = 28

Giải: 

a) 2  - 4  = 27 - 3  
⇔  = 27 ⇔ x =  ⇔ x = 243

b) 3  - 3  + 3  = 28
⇔ 3  - 3  + 3  = 28
⇔ 14  = 28 ⇔  = 2 ⇔ 2x = 4 ⇔ x =2

Bài 5. Rút gọn:
a)    với x > 0, y > 0 và x khác y
b) ) với a > 0,5

Giải:
a)    =  .|x + y| =
b) ) =  | 1 - 2a| = 2  a

* Khử mẫu biểu thức để lấy căn (bài 6 và bài 7)
Bài 6.  ;  ;  ;  ;  

Giải:

 =  =  =
 =  =  =
 =  =  =
 =  =  =
 =   =
=  =
Vì 1 <  ⇒ 1 -  < 0 ⇒ 1 -  =  – 1
Vậy:  =
Bài 7. ab  ;     ;  ;  ; 3xy
Giải:
a) Xét ab  , do  có nghĩa nên a, b cùng dấu
ab  = ab  =
+ b > 0 ⇒  = a
+ b < 0 ⇒  = - 
b)    = .  =  =
+ a > 0 ⇒    =  =  . Vậy    =  
+ a < 0 ⇒     = -  . Vậy    = -  
c)  =  =
+ b > 0 ⇒  = . Vậy:  = 
+ b < 0 ⇒  = - . Vậy:  = -

d)  =  =  =  =
Do  có nghĩa nên a và b cùng dấu
Do đó:  = , vậy:  =

e) 3xy  = 3

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa (từ bài 8 đến bài 10)
Bài 8. ;    ; ; ;

Giải:

 =  =
 =  =
 =  =  =  =  
 =  =  =
 =  =  =

Bài 9.  ;  ;  ;  ;

Giải:
 =  =  =  (  -1)
 =  =  =  +1
 =  =
 =  =
 =  =

Bài 10. ; ; ;

Giải:
 =  = 2( )
 =  =  =
 =
 =  =  

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu số:
a)
b)  ; ; ;
c) ;

Giải:
a) Ta có:  =  = |  -1| =  -1
Do đó:  =  =  =  = 3 -

b) Ta có:   =  =   =
Ta có:  =  =  = 4 +  
Ta có:  =  =  = 3 +
Ta có:  =  =  =  
c) Ta có:  =  =  
=  =  =  =
Vậy:  =
Ta có:  =
=  =
=
= 6  + 5  -   – 5

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức:
A=  với a =  +  

Giải:

Trước hết, ta biến đổi biểu thức dưới dấu căn:
 = (a  – 2.4.a  + 4² = (a )²
Như vậy: A =  = |(a )|
Tiếp theo, ta biến đổi a:
A =  +  =  +   =  
Với a =  ⇒ a  – 4 > 0
Vậy: a  – 4 = 8 – 4 = 4

Bài 3. Tính tổng:
A =  +  + …. +
Ta có: A =  +  + ….+
= ( ) + ( ) + ( ) + …+ ( )
= ( ) – ( )
=  - 1

Bài 4. Tính:
a) 3  ; -2 ; ;  ;  (a 0 ; b  0)
b)  ;  ;
c)  ;  ;  , với x > 3
d)  ; , với 1 < x < 4

Giải:

a) Ta có:
* 3  = 3.  = 3  = 6
* -2  = -2  = -2  = -10
*  =  =  =  
*  = -  =  -   = -2
*  =  |a|  =

b) Ta có :
*  = |2 - |  = ( )   vì 2 -  < 0
*   = |2- |3  = 3(2- )  vì 2-  > 0
*  =  |1- | =  | | vì 1-  < 0

c) Ta có:
*  =  =  =
=  =
*   =  = | 2-x |  = (2 - x)  vì x  2
*    = |x(x – 3)|  =  vì x > 3

d) Ta có:
*  =
= 5(5 + a)² , với a  - 5
* Với 1 < x < 4
⇒ 1 – x < 0 ; x – 4 < 0 ⇒ (x - 4) (1 - x) > 0
Ta có:  = |x - 4|(1- x)²
= (4 – x )(1 - x)²
 
Bài 5. Giải phương trình:
 = 2x - 3

Giải:

Điều kiện: 3x² - 4x  0
⇔ x (3x - 4)  0 ⇔ x    hoặc x  0
Với điều kiện trên phương trình được biến đổi thành:
3x² - 4x = (2x – 3)² ⇔ x² – 8x + 9 = 0
⇔ (x - 4)² – 7 = 0
⇔ (x – 4 + )(x – 4 - )
⇔    ⇔
Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:  ;

Bài 6. Giải phương trình:

a) x  +  - = 10x + 27
b)  +  -  = 3

Giải:

a) Điều kiện: 4  x  6
Ta thấy x² - 10x + 27 = (x - 5)² + 2  2
     = 1
Hay:    2
Vì vậy phương trình có nghiệm cần phải có:
 
Giải phương trình (1), ta được x = 5. Giá trị thỏa mãn (2).
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

b) Đặt X =  +  thì:
  =
Phương trình đã đưa về dạng:
X =  =3
⇔ 2X – X² + 9 = 6 ⇔ X² – 2X – 3 = 0 ⇔
Với X = - 1 ⇔  +  = 1, phương trình vô nghiệm.
Với X = 3 ⇔  +  = 3
⇔  ⇔