© 2020 Bài Kiểm Tra.com. All Rights Reserved.

Giải bài tập Toán 9, chương IV, bài 6: Hệ thức vi-ét và ứng dụng

Chủ nhật - 25/08/2019 23:42
Giải bài tập Toán 9, chương IV, bài 6 : Hệ thức vi-ét và ứng dụng: Tóm tắt kiến thức, ví dụ, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa và bài tập luyện thêm.
A. Tóm tắt kiến thức
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì:
 
2. Ứng dụng
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì nó có hai nghiệm : x1 = 1 và x2 =
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì nó có hai nghiệm : x1 = -1 và x2 =
- Nếu biết một nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 là x1 thì:
x2 =  – x1 hoặc x2 =  nếu x1  0
- Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thoả mãn điều kiện S2 - 4P  0 thì chúng là hai nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.
- Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1, x2 thì đa thức ax2 + bx + c có thể phân tích thành tích như sau : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

B. Ví dụ
Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm (nếu có) của phương trình :
a) 4x2 + 9x + 2 = 0 ;                 b) -6x2 + 5x + 1 = 0 ;
c) 5x2 - 10x - 2 = 0 ;                 d) 7x2 + 3x + 1 = 0.
Phân tích. Ta chỉ tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình thì phương trình đó phải có nghiệm. Vì thế, trước hết ta phải xét biệt thức  của phương trình để biết phương trình có nghiệm hay không.

Giải: a)  = 92 - 4.4.2 = 81 - 32 = 49 > 0.
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1 + x2 =
x1 . x2 =  =

b) Phương trình - 6x2 + 5x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 vì có a = - 6, c = 1 trái dấu.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1 + x2 =  =
x1 . x2 =  =

c) Phương trình 5x - 10x - 2 = 0 có a = 5, c = -2 trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1 + x2 =  = 2

d) Phương trình 7x2 + 3x + 1 = 0 có  = 32 - 4.7.1 = 9 - 28 < 0.
Do đó phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình :
a) 4375x2 - 5127x +752 = 0;
b) 521x2 + 319x - 202 = 0;
491x2 - 2012x - 2503 = 0.

Giải. a) Vì 4375 -5127 + 752 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = 1; x2 =

b) Vì 521 – 319 + (-202) = 521 -319 - 202 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là :
x1 = -1, x2 =

c) Vì 491 - (-2012) - 2503 = 491 + 2012 - 2503 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là :
x1 = -1; x2 =

Ví dụ 3. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau :
a) u + v = 20, uv = 91 ;   b) u + v = 15, uv = -100    
c) u - v = 7, uv = 120 ;   d) u + v = 4, uv = 36.

Giải: a) Xét phương trình x2 - 20x + 91 = 0.
' = 102 - 91 = 9 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm là:
x1= - (-10) + 3 = 13, x2 = -(-10) – 3 = 7.
Vậy u = 13, v = 7 hoặc u = 7, v = 13.

b) Xét phương trình x2 - 15x - 100 = 0.
 = 152 - 4.1.(-100) = 225 + 400 = 625.
 =  = 25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1  =  = 20; x1  =  = - 5
Vậy u = 20, v = -5 hoặc u = -5, v = 20.

c) Đặt v’ = -v, ta có u + v’ = 7 và uv’ = -120.
Xét phương trình : x2 -7x - 120 = 0.
 = 72 - 4.1.(-120) = 49 +480 = 529 = 232.
 = 23.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =  = 15; x2 =  = - 8
Do đó u = 15, v’ = -8 hoặc u = -8, v’ = 15.
Vậy u = 15, v = 8 hoặc u = -8, v = -15.

d) Xét phương trình x2 - 4x + 36 = 0.
' = 22 - 36 < 0.
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số u và v nào thoả mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ 4. Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2.
Chứng tỏ rằng ax + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Áp dụng kết quả trên hãy phân tích đa thức thành nhân tử :
a) 4x2 + 7x + 3 ;   b) 2x2 - 5x + 1.

Giải. Ta có
a(x – x1)(x – x2) = a(x2 – x1x – x2x + x1x2) = a[x2 - (x1 + x2)x + x1x2].
Theo hệ thức Vi-ét, x1 + x2 = , x1 . x2 =
Do đó a(x1 – x2)(x1 – x2) = a  = a = ax2 + bx + c
Áp dụng :
a) Giải phương trình 4x + 7x + 3 = 0.
Vì 4 -7 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = -1, x2 =
Vậy 4x2 + 7x + 3 = 4[x-(-1)]  =  = (x+1)(4x +3)

b) Giải phương trình 2x2 - 5x + 1 = 0.
 = 52 - 4.2.1 = 25 – 8 = 17.
x1 = ; x1 =
Vậy: 2x2 – 5x +1 = 2   

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
25. Trả lời. a)  = 281, x1 + x2 = , x1x2 =
b)  = 701, x1+ x2 = ,  x1x2 = -7.
c)  = -31 < 0. Phương trình vô nghiệm.
d)  = 0, x1 + x2 = , x1x2 = .

26. Đáp số: a) x1 = 1, x2 = .   b) x1 = 1; x2 =  
c) x1 = -1, x2 = 50.        d) x1 = - l, x2 =

27. Giải: a) Vì x1 + x2 = 7 = 3 + 4, x1x2 = 12 = 3.4 nên x1 = 3, x2 = 4
b) Vì x1 + x2 = -7 = -3 - 4 và x1x2 = 12 = (-3).(-4) nên x1 = - 3, x2 = - 4

28. Đáp số: a) u = 11, v = 21 hoặc u = 21, v = 11.
b) u = -15, v = 7 hoặc u = 7, v = -15.
c) Không có số u, v nào.

29. Trả lời: a) x1 + x2 = , x1 . x2 = .          b) x1 + x2 = , x1 . x2 = .
c) Phương trình vô nghiệm.                                  d) x1 + x2 = , x1x2 = ,

30. Trả lời: a) m  1, x1 + x2 = 2, x1x2 = m
b) m  , x1 + x2 = -2(m - 1), x1x2 = m2

31. Đáp số: a) x1 = 1, x2 =   b) x1 = -1, x2 =  

c) x1 = 1, x2 = -7 - 4  d) x1 = 1, x2 =

32. Đáp số: a) u = v = 21.
b) u = -50, v = 8 hoặc u = 8, v = -50.
c) u = 8, v = 3 hoặc u = -3, v = - 8.

33. Trả lời: a) 2x2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3).
b) 3x2 + 8x + 2 = 3
= (3x + 4 - )

D. Bài tập luyện thêm
1. Giải các phương trình :
a) 214x2 -527x +313 = 0;
b) 555x2 + 237x - 318 = 0;
c) (1 +)x2 + 2(1 - 2)x + 3 - 3 = 0 ;
d) 5x2 + 3(1 - 2)x + 3- 11 = 0.

2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau :
a) u + v = 2, uv = -1 ;
b) u + v = 7 -   , uv = 12 - 3  .

3. Cho phương trình 2mx2 - 4(m - 2)x + m + 1 = 0.
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm là x1 = -2. Không giải phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại.

4. Cho phương trình (m + 3)x2 - 2(m + l)x - m - 2 = 0.
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng bằng 6. Khi đó hãy tính tích hai nghiệm của phương trình.
b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Hãy tính  +   theo m.

Hướng dẫn - Đáp số

1. Đáp số : a) x1 = 1, x2 =  .          b) x1 = -1, x2 =  .
c) x1 = 1; x2 = 3(2 - )  d) x1 = -1; x2 =

2. Đáp số: a) u = 1+  , v = 1 -  hoặc u = 1 -  , v =1 +  
b) u = 3, v = 4 -  hoặc u = 4 - , v = 3

3. Giải. a) m  0, ' = 4(m2 - 4m + 4) - 2m(m + 1) = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 - 2m
= 2m2 - 18m + 16 = 2(m2 - 9m + 8).
' = 0 khi m22 - 9m + 8 = 0 hay khi m = 1 hoặc m = 8.
Khi m = 1 thì nghiệm kép là x1 = x2 =  = -1
Khi m = 8 thì nghiệm kép là x1 =  x2 =  =  = 

b) Phương trình có một nghiệm là x1 = - 2
khi 2m.(-2)2 - 4(m - 2).(-2) + m + 1 = 0
hay 8m + 8m-16 + m+ 1 = 0 hay 17m = 15. Do đó m = .
Khi đó theo hệ thức Vi-ét, nghiệm còn lại là :
x2 =  + 2 =  = 4 -
= 4 -  = 4  -  =

4. Giải: a) Trước hết m + 3  0 và phương trình phải có nghiệm.
Xét  = (m + 1)2 + (m + 3)(m + 2) = m2 + 2m + 1 + m2 + 5m + 6 = 2m2 + 7m + 7
= 2+  > 0 m.

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2.
x1 + x2 =  = 6 khi 2m + 2 - 6m + 18 hay 4m = - 16 hay khi m = - 4.
Khi đó x1x2 =  , với m = - 4 thì x1x2 = -2.

b) Ta có  +  = (x1 + x2)2 – 2x1x2.
Theo hệ thức Vi-ét,
 +  = - 2  =
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.

  Ý kiến bạn đọc

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây