Giải bài tập Toán 9, chương I: bài 1: Căn bậc hai

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400

Giải:

Ta có căn bậc hai số học của 121 là  = 11
Vì 11 > 0 và 11² = 121
Tương tự:  =12;         =13;
  = 15;                       = 16;
  = 18;                        = 19;           = 20

Bài 2. So sánh:
a) 2 và      b) 6 và   c) 7 và   

Giải:

a) So sánh 2 và     
Ta có: 2 =  mà 4 > 3 ⇒  >  ⇒ 2 >  

b) So sánh 6 và  
Ta có: 6 =   mà 36 < 41 ⇒   <  ⇒ 6 <

c) So sánh 7 và
Ta có: 7 =  mà 49 > 47 ⇒    >   ⇒ 7 >   

Bài 3. Dùng máy tính bỏ túi để tính nghiệm của các phương trình dưới đây (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ ba)
a) x² = 2;    b) x² = 3;     c) x² = 3,5;    d) x² = 4,12.

Giải:
a) x² = 2 ⇒ x    ⇒ x  1,4114
b) x² = 3 ⇒ x    ⇒ x  l ,732
c) x²  = 3,5 ⇒ x    ⇒ x  1,871
d) x²  = 4,12 ⇒ x     ⇒ x  2,030.

Bài 4. Tìm x không âm, biết:
a)  = 15     b) 2  = 14     c)  <      d)   < 4

Giải:

a)  = 15 ⇒ x = 15² ⇒ x = 225;
b) 2  = 14  ⇒ (2 )² = 14² ⇒ 4x = 196 ⇒ x = 49;
c)  <   ⇒ (  )² = ()² ⇒ x < 4 ⇒ 0 < x < 4;
d)   < 4  (  )²  < 4² ⇒ 2x < 16 ⇒ 0 < x < 8

Bài 5. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chừ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.

Giải:

Diện tích của hình chữ nhật bằng:
3,5m x 14m = 49 (m²)
Vì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông nên cạnh hình vuông bằng:  = 7 (m)
Cách khác: Có thể nhẩm theo cách giải hình học là “cắt” đối hình chữ nhật thành hai hình chữ nhật có kích thước 3,5m x 7m và ghép lại được thành hình vuông cạnh 7m.

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài 1. Tính:
a)
b) 
c)

Giải:
a) = 5 ( - 1)

b)  = |1 -  | vì 1 <  nên |1 -  | =  - 1

c)  =  |1 -  | =  ( -1) ( vì 1-  < 0 )

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 0,5.  -
b)  : 5

Giải:
a) 0,5.  -  = 0,5 -  = 0,5.10 -  = 5 -  =

b)  : 5 =  : 5 =  : 5
=  : 5 =

Bài 3: So sánh các số:
a)  +  và  
b)  và  

Giải:

Ta có:
a )   > 3;   > 2
Nên   +   + 1 > 6 và 6 >   .
Vậy   +   + 1 >   

b)   <  = 3 và  > 3. Vậy   <  

Bài 4. So sánh:
a) 2 và 10 
b) 2 +  và 3 +

Giải:
a) Áp dụng định lí: a > b  0 ⇔  >  
Ta có: 31 > 25 nên  > 5
Hay  2 > 10

b) a > b  0 ⇔ a² > b²
Ta có: (2 + )² = 7 + 4 và (3 + )² = 11 + 6
Nhưng: 4 < 6 (vì (4)² = 48; (6)² = 72)
Nên: 7+ 4  < 11 + 6
Vậy: 2 +  < 3 +

Bài 5. Chứng minh rằng với số thực a, b  0, ta có:
   +

Giải:

Ta có:    +
⇔ ()²   ( + )² (do   0;  +    0 )
⇔ a + b  a + b + 2
⇔ 0  2 (Bất đẳng thức đúng vì   0)
Vậy với mọi số thực a, b   0:    +

Bài 6. Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
a)     b)     c)
 
Giải:

a)
Ta có:
 có nghĩa khi   0 ⇔  hay  
⇔  hay  ⇔ x  1 hay x < - 2
Vậy với:   thì  có nghĩa


b)  có nghĩa khi 4 – x²  0 ⇔ x²  - 4  0
⇔ (x - 2)(x+2)  ⇔  hay
⇔  hay  ⇔ -2  x  2
Vậy với -2  x  2 thì  có nghĩa


c)  có nghĩa khi x² - 2x - 3  0
⇔ (x+1)(x - 3)  0 ⇔ x  3 hay x  -1
Vậy với :  thì  có nghĩa


Bài 7. Chứng minh rằng  + 1 là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử  + 1 là số hữu tỉ.
Đặt  + 1 = x (x  Q), ta có:
( + 1)² = x² ⇔ 3 + 2 + 1 = x² ⇔   =
Vì x là số hữu tỉ nên x² - 4 là số hữu tỉ.
Do đó  là số hữu tỉ.
Như vậy  là số hữu tỉ (Điều này vô lí)
Vậy  là 1 số vô tỉ.

Bài 8. Chứng minh rằng  +  là số vô tỉ

Giải:
Đặt x =  +  ⇒ (x -  )² = 3
⇔ x² - 1 = 2 x ⇒ (x² - 1)² = 8x² ⇔ x⁴ - 10x² + 1= 0
Như vậy x là nghiệm của phương trình: x⁴ - 10x² + 1= 0
Đặt x =  ; giả sử x là số hữu tỉ thì  tối giản.

Ta có:  – 10   + 1 = 0 ⇔ p⁴ – 10²q^{2 +} q⁴ = 0 ⇔ p⁴ = q²(10p² – q²)
Do đó p⁴ : q (điều này mâu thuẫn với  tối giản).
Suy ra: x là số vô tỉ.

Bài 9. Tìm giá trị của x để các biểu thức sau được xác định:
a) A =      b) B =  +

Giải:

a) Biến đổi biểu thức dưới dấu căn, ta được:
 = - 
Vì  > 0 x  R

nên - > 0 x  R
Vậy biểu thức đã cho xác định với mọi x.

b) Điều kiện:
Vậy x