Loading...

Giải bài tập Hình học 9, chương II: Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.

Thứ hai - 05/08/2019 04:53
Giải bài tập Hình học 9, chương II: Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Loading...
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B, BA) chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải:
Ta có: AB2 = 9; AC2 = 16; BC2 = 25.
Suy ra: BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông tại A.
AC BA.
Vậy AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (B; BA).
h1

Bài 2. Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B tiếp xúc với đường thẳng d tại A.

Giải:
Phân tích:
- Đường tròn đi qua hai điểm A, B nên tâm của nó phải nằm trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng AB
- Đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A nên tâm của nó phải nằm trên đường thẳng A vuông góc với đường thẳng d tại điểm A.
Vậy O là giao điểm của  với trung trực Mx của AB.
h2
Cách dựng:
- Dựng đường trung trực Mx của AB.
- Dựng đường thẳng A vuông góc với d tại A.
- Dựng giao điểm O của A và Mx.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.
Đó là đường tròn cần dựng.
Chứng minh: O  Mx nên đường tròn (O; OA) đi qua A, B. O  nên đường tròn (O; OA) tiếp xúc với d tại A.
 
Bài 3. Đố: Dây cua-roa trên hình bên có những phần là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm b được vẽ trên hình. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
H3
Học sinh tự giải.

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Cho đường tròn tâm O, dây cung CD. Qua O vẽ đường OH vuông góc với CD tại H, cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn ở điểm M. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn. h5
Giải:

* Nối OD, xét tam giác cân OCD có OH CD.
HC = HD (tính chất đường kính vuông góc với dây qua trung điểm)
* OH là phân giác nên O1 = O2
* OCM = ODM (c.g.c)   =  =-90°
Vậy MD là tiếp tuyến với (O) tại D.

Bài 2. Cho tam giác ABC,  -  = 90°
a) Chứng minh rằng  < 45°
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) ngoại tiếp ABC vuông góc với AC tại một điểm I.
c) Chứng minh rằng IB2 = IA.IC 
d) Gọi R là bán kính của (O). Chứng minh rằng: AB2 + BC2 =4R2
Hướng dẫn: a) Sử dụng tổng 3 góc của 1 tam giác bằng 180o
b) Để ý rằng IBA = BCA
c) CM: IBA dd   ICB
d) Dựng đường kính COC’ của (O) và CM: AB = BC’

Giải:

a) Ta có:  =  - 90°
  +  +  =  + 2  + 90° = 180°
C = 45o -  < 45o
Vậy  < 45°

b) Ta có:   +    = (180° -  ) +  
= 180o - (   + 90o ) +   = 90o =
Vậy BI AC
c) Hai tam giác vuông IBA và IBC có:
 =   nên đồng dạng
IAB dd   IBC 
 =  ⇒ IB2 = IA. IC

d) Kẻ đường kính COC’, ta có:
OBC cân tại O  =  
OB //CA (cùng vuông góc với BI)  =  
Do đó:   =    = '    AB = BC’
  AB2 + BC2 = BC2+ BC2 = CC’2 = 4R2
h6

Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD cắt nhau tại một điểm I nằm trong đường tròn. Hạ PI AB.
a) CM rằng: 1. BA.BI = BD.BP     2. AB.AI = AC.AP
b) Chứng tỏ rằng: AB2 = AC.AD + BD.BP
c) Hai tia AD và BC gặp nhau tại Q.
Chứng minh 3 điểm Q, B, D thẳng hàng.

Giải:

a) 1. Ta có:  = 90o
Suy ra tứ giác ADPI nội tiếp được:  +  = 90o, hai tam giác BID và BPA có chung nhau góc B và có  =  nên đồng dạng: BDIdd  BAP
 =  ⇔ BA.BI = BP.BP (1)

2. Tương tự ta có: AIC dd  APB
 =  ⇒ AB.AI = AC.AP (2)
b) Cộng (1) và (2), vế theo vế, ta có:
AB.AI + BA.BI = AC.AP + BD.BP
AB (AI + BI) = AC.AP + BD.BI
AB2 = AC.AP + BD.BI
Vậy: AB2 = AC.AP + BD.BI

c) Trong QAB, AC và BD là hai đường cao nên giao điểm P của AC và BD là trực tâm của QAB.
QPAB, nhưng PI AB. Do đó 3 điểm Q, P, I thẳng hàng.
h7

Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là 1 điểm di động trên (O) (M  A,B) . Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (M) tại C và D.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
b) Giả sử CD = 2a. Tính tích BD.AC theo a).
c) Gọi K là giao điểm của CD và AB. Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK.

Giải:
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến  = ;  =  mà  = 90° (do AB là đường kính (O), M  (O))
CMD = 180o
C, M, D thẳng hàng.
OM là đường trung bình hình thang.
ABCD OM CD (đpcm)

b) AC.BD - AH.HB = MH2 = a2

c) OMK vuông tại M. Có MH là đường cao OH.OK = OM2
h8

Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,6R. Vẽ một tiếp tuyến song với AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích MON.

Giải:
Nối OH ta được OH MN (tính chất của tiếp tuyến). Ta lại có AB // MN (gt) nên OH AB (tại I).
Theo tính chất dường kính vuông góc với một dây ta được:
IA = IB =  = 0,8R
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông IOA ta được:
OI2 = OA2 – IA2 = R2 - (0,8R)2 - 0,36R2 OI = 0,6R
Xét OMN có AB // MN (gt) OAB dong dang  OMN
 =  (tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng)
Vậy: MN =  =  = R
 =  MN.OH =  .  R.R =  R2
h9

Bài 6. Cho ABC vuông cân tại A.
a) Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đường tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm A. Chứng minh rằng a // BC.
b) Hãy nêu cách dựng các tiếp tuyến b, c của đường tròn ngoại tiếp  ABC, biết rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B, C. Chứng minh rằng b // c.

Giải:

ABC vuông cân tại A nên đường tròn ngoại tiếp  ABC có tâm O là trung điểm của BC.
a) Tiếp tuyến qua A là đường thẳng C a qua A và vuông góc với OA.
Vì OA BC nên a // BC (đpcm).

b) Ta có ngay:
- Tiếp tuyến qua R là đường thẳng b qua B và vuông góc với BC.
- Tiếp tuyến qua C là đường thẳng C qua C và vuông góc với BC. Từ đó b //c (đpcm). 
h10

Bài 7. Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định, M là một điểm cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OM = d > R.
Một đường thẳng (d) quay quanh M cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A và B.
a) Chứng minh rằng: MA.MB = d2 – R2
b) Định vị trí của (d) để MA + MB nhỏ nhất và lớn nhất.

Giải:
a) Gọi I là trung điểm của AB.
Ta có: MI = 
MA + MB = 2MI  
(MA + MB)2 = 4MI2
(MA + MB)2 = 4 (OM2 – OI2) (1)
Mặt khác: MB - MA = AB = 2AI
( MB – MA)2 = 4AI2 = 4 (OA2 – OI2 ) (2 )
(1) - (2)   4 MA.MB - 4 (OM2 – OA2)
MA.MH = OM2 – OA2 = d2 – R2

b) Vẽ tiếp tuyến MT với đường tròn:
MIO vuông MI  OM (*)
và MI2 – OM2 – OI2  OM2 – OT2 (vì OI < OT = R )
OMT vuông: MT2 = OM2 – OT2
MI2  MT2  MI  MT  (**)
Dấu bằng xảy ra I = T.
(*) và (**) MT  MI  OM
2MT  2MI  20M
2MT   MA + MB  OM
Vậy:
* MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi MAB là tiếp tuyến (MA + MB = 2MT).

* MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi MAB qua tâm O (MA + MB = 2OM)
h11
© Bản quyền thuộc về Bài kiểm tra. Ghi rõ nguồn Bài kiểm tra.com khi sao chép nội dung này.
Loading...

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây