Giải bài tập Toán 9, chương II: Bài 2: Hàm số bậc nhất

Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số náo là hàm sô bậc nhất? Hãy xác định hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến,
a) y = 1 - 5x;                                  b) y = - 0,5x;
c) y =  (x - 1) +  ;           d) y = 2x² + 3.

Giải:

a) Hàm số y = 1 - 5x là hàm số bậc nhất, với a = -5 và b = 1.
+ Vì a = -5 < 0 nên hàm số nghịch biến.

b) Hàm số y = -0,5 là hàm số bậc nhất, với a = - 0,5 và b = 0.
+ Vì a = - 0,5 < 0 nên hàm số nghịch biến. 

c) Hàm số y =  (x - 1) +  có thể viết lại: y =  x +  -
Đây là hàm số bậc nhất với a =  và b =  - .
+ Vì a =    > 0 nên hàm số đồng biến.

d) Hàm số y = 2x² + 3 không là hàm số bậc nhất vì không có dạng: y = ax + b.

Bài 2. Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 3
a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến.

Giải:

a) Để hàm số y = (m - 2)x + 3 đồng biến thì m - 2 > 0 ⇒ m > 2

b) Đáp số: m < 2.
Chú ý: Khi m = 2. ta có hàm hằng y = 3.

Bài 3. Một hình chữ nhật có kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x.

Giải:

Gọi hình chữ nhật ban đầu ABCD , có kích thước là AB = 30cm; BC = 20cm. - Sau khi bớt các kích thước của hình chữ nhật x(cm ), ta có hình chữ nhật mới A’B’C’D’ với kích thước là: A’B’ = 30 - x,   BC = 20 - x. - Gọi y là chu vi của hình chữ nhật A’B’C’D’ ta có: y = 2[(30 - x) + (20 - x)] = 2(50 - 2x) hay y = - 4x + 100

Vì chu vi y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x (x nhận giá trị thay đổi từ 0 đến 20) và với mỗi giá trị xác định của x luôn xác định được một giá trị y duy nhất.

Vậy y là hàm số của x và là hàm số bậc nhất với biến số x
(Vì y có dạng y = ax + b với a  0)

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = ax. 
Chứng minh rằng: f(k.x) = kf(x)
                              f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)
Các hệ thức trên có còn đúng với y = f(x) = ax + b, với b  0 không?

Giải:

Ta có: f(k.x) = a(k.x) = k(ax) = k.f(x)
f (x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) = ax₁ + ax₂ = f(x₁) + f(x₂)
Với f(x) = ax +  b (b  0), với k  1:
f(k.x) = a(k.x) + b  k (ax + b) = k.f(x) (vì b  0)
f(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) + b = (ax₁ + b) + (ax₂ + b) = f (x₁) + f (x₂)

Bài 2. a) Tìm hàm số bậc nhất biết hệ số góc bằng -1 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(2, 3).
b) Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của nó qua 2 điểm A(-1, 2); B(2, -1).

Giải:

a) Ta có: a = -1 nên y = -x + b (1)
Đồ thị qua A(2, 3) nên thay x = 2, y = 3 vào (1) thì được:
3 = -2 + b ⇒ b = 5
Vậy y = - x + 5

b) Giả sử y = ax + b
Đồ thị qua A(-1, 2) nên: 2 = -a + b qua B(2, -1) nên: -1 = 2a + b
Suy ra :
Vậy y = -x + 1

Bài 3. Tìm giá trị của m để hàm số: y = (m² - 6m + 5)x
a) Đồng biến.                   b) Nghịch biến.

Giải:

a) Hàm số y = (m² - 6m + 5)x đồng biến khi hệ số a dương, nghĩa là m² - 6m + 5 > 0
Hay m² - 5m + 5 > 0 ⇔ m (m - 1) - 5(m - 1) > 0
⇔ (m -1)(m - 5) > 0 ⇔
Vậy hàm số đồng biến khi m < 1 hoặc m > 5

b) Hàm số y = (m² - 6m + 5)x nghịch biến khi hệ số a âm, nghĩa
là: m² - 6m + 5 < 0 ⇔ (m - 1)(m - 5) < 0 ⇔ 1 < m < 5
Vậy hàm số nghịch biến khi 1 < m < 5

Bài 4. a) Cho hàm số y = f(x) = ax
- Chứng tỏ rằng: f(kx₁) = kf(x₁)
- Chứng minh rằng: f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

b) Các hệ thức trên còn đúng với hàm số:
y = f(x) = ax + b, b  0, hay không?

Giải:

a) * Ta có: f(x) = ax
=> f(kx₁) = a(kx₁) = k(ax₁) = k.f(x₁)
Vậy f(kx₁) = kf(x₁)

* Ta có:
f( x₁ + x₂) = a( x₁ + x₂) = ax₁ + ax₂ = f(x₁) + f(x₂)
Vậy: f( x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

b) Xét hàm số: y = f(x) = ax + b, b  0
Ta có: f(k.x₁) = a(k.x₁) + b = kax₁ + b
kf(x₁) = k(ax₁ + b) = kax₁ + kb
Do đó: f(kx₁)  kf(x₁) với b  0
Ta có: f(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) + b
f(x₁) + f(x₂) = (ax₁ + b) + (ax₂ +b) = a(x₁ + x₂) + 2b
Do đó: f(x₁ + x₂)  f(x₁) + f(x₂) với b  0

Bài 5. a) Khảo sát tính chất và vẽ đồ thị hàm số:
(d): y = (1 -  )x +
b) Tìm điểm trên (d) có hoành độ 1 +
c) Tìm điểm trên (d) có tung độ 2
d) Gọi M(x_M; y_M); N(x_N; y_N) là các điểm trên (d). Biết X_M : X_N = 5 : 1; y_M + y_N = 4. Tìm tọa độ các điểm M, N.

Giải:

a) Tập xác định: R Hàm số y = (1 -  )x +   nghịch biến trên R Đồ thị hàm số y = (1 -   )x +   là đường thẳng qua hai điểm: (0;   ) và (1, 1) b) Gọi A (1 +  ;yA) là điểm phải tìm.

Ta có: A  (d) : y_A = (1 - ) (1 + ) +   = 1 – 2 +  =  – 1
Vậy A (1 + ;  – 1)

c) Gọi B (x_B; 2  ) là điểm phải tìm.
Ta có: B  (d): 2  – (1 - ). x_B
⇒ x_B =  =    =  = -2  - 4
Vậy B (-2  – 4; 2  )

d) Ta có: M  (d): y_M = (1 -  )x_M +  
N  (d): y_N = (1 -  )x_N +  
⇒ y_M + y_N  = (1 -  )(x_M + x_N) + 2  
⇒ 4 = (1 -  )(x_M + x_N) + 2  
⇒ x_M + x_N =  =  = -2
Mà:  =   =  =   = 
Từ đó suy ra:
* x_M =  ⇒ y_M =  (1 - ) +  =
* x_N =  ⇒ y_M =  (1 - ) +  =
Vậy M    ; N    

Bài 6. Cho hàm số:
Chứng minh:
a) Hàm số f(x) + g(x) : g(x) - f(x) là hàm số đồng biến.
b) Hàm số f(x) - g(x) là hàm số nghịch biến.

Giải:

a) Ta có: f(x) + g(x) = (a² + a + 1)x +  – 1
g(x) – f(x) = (a² + a + 1) x – 1 -
Vì: a² + a + 1 = a² + 2.a.  +  +  = +   > 0  a
Do đó f(x) + g(x); g(x) - f(x) là các hàm số đồng biến

b) Ta có: f(x) - g(x) = (a – a² + 1)x +  + 1
Vì a – a² - 1 = (a² - a + 1 ) =    < 0,  a
Do đó f(x) – g(x) là hàm số nghịch biến.

Bài 7. 1. Tìm các khoảng mà các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên đó:
a) y = x³ – 3x² + 2      b) y =  

2. Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình:
a) x³ - 3x² + 2 - m = 0          b) mx² - 2x + m = 0

Giải:

1.a) Tập xác định của hàm số là R
Lấy x₁, x₂  R, x₁ < x₂ ta có:
y₁ =  -   + 2;      y₂ =  - 3  + 2;
Do đó:  =
=
= x₁(x₁ - 2) + x₂(x₂ - 2) .
Rõ ràng:
- Nếu x₁, x₂  (0;2):  < 0 ⇒ y₁ < y₂
⇒ Hàm số nghịch biến
- Nếu x₁, x₂ < 0 hoặc x_1, x_{2 >} 2: ⇒  > 0 ⇒ y₁ > y₂
⇒ Hàm số đồng biến
Vậy: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0, 2), đồng biến trong khoảng (- ; 0): (2, +  )..

b) Tập xác định của hàm số là R
Lấy x₁, x₂  R, x₁ < x₂ ta có: y₁ = ; y₂ =
Do đó: y₁ – y₂ =  -  =
=  (1-  x₁x₂)(x₁- x₂)
⇒  =
Nếu x₁, x₂  (-1; 1):  > 0 ⇒ y₁ < y₂
⇒ Hàm số đồng biến

Nếu: x₁, x₂ < -1 hoặc x_1, x₂ > 1
 < 0 ⇒ y₁ > y₂
⇒ Hàm số nghịch biến

Vậy: Hàm số nghịch biến trong các khoảng (- , -1); (1, + ), đồng biến trong khoảng (-1, 1)

2. a) Bảng biến thiên của hàm số y = x³ - 3x² + 2

Dựa vào bảng biến thiên này và để ý phương trình đã cho tương đương x³ - 3x² + 2 = m, ta suy ra:
* m < -2 hoặc m > 2: phương trình có 1 nghiệm.
* m = -2 hoặc m = 2: phương trình có 2 nghiệm.
* -2 < m < 2: phương trình có 3 nghiệm.
b) Bảng biến thiên của hàm số y =

Dựa vào bảng biến thiên này và để ý phương trình đã cho tương đương  = m, ta suy ra:
* m < -1 hoặc m > 1 : phương trình vô nghiệm.
* m = -1 hoặc m = 1 : phương trình có 1 nghiệm.
* -1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1 : phương trình có 2 nghiệm.
* m = 0 phương trình có 1 nghiệm.